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wzjs 2025/8/3 10:55:01

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二次型最优控制

考虑到系统如果以状态空间方程的形式给出，其性能指标为：

$J=\frac{1}{2}x^T(t_f)Fx(t_f)+\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f}[x^T(t)Qx(t)+u^T(t)Ru(t)]dt$

其中F,Q,R是有设计者事先选定。线性二次最优控制问题简称LQ(Linear Quadractic)问题,就是寻找一个控制 $u^*(t)$ ,使得系统沿着由指定初态 $x_0$ 出发的相应轨迹 $x^*(t)$ ,其性能指标J取得最小值。

LQ问题分为有限时间LQ问题和无限时间LQ问题。在有限时间LQ问题中，终端时刻 $t_f$ 是固定的，且为有限值；而在无限时间LQ问题中， $t_f=\infty$ 。

此外，从工程应用角度，还可以把LQ最优控制问题分为调节问题和跟踪问题，而调节问题又分为状态调节问题和输出调节问题。所谓状态调节问题，就是设计最优控制 $u^*(t)$ ,使在其作用下把系统由初始状态 $x_0$ 驱动到平衡状态 $x_e=0$ ,同时性能指标J取得最小值。而跟踪问题，则要求在使系统的输出 $y(t)$ 跟踪已知的或未知的参考信号 $y_r(t)$ 的同时，使某个相应的二次型性能指标J为极小。

无限时间LQ状态调节

无限时间LQ状态调节问题中的性能指标为：

$J=\frac{1}{2}\int_{t_0}^{\infty}[x^T(t)Qx(t)+u^T(t)Ru(t)]dt$

其中{A,B}为能控的， $\left \{ A,Q^{1/2} \right \}$ 为能观的。

无限时间最优调节器系统的结构图如下：

对于无限时间LQ状态调节问题， $u^*(t)$ 为其最优控制的充分必要条件是其具有形式：

$u^*(t)=-K^*x^*(t) \\ K^*=R^{-1}B^TP$

而最优性能指标为：

$J^*=\frac{1}{2}x_0^TPx_0$

其中P为下述Riccati矩阵代数的解。

$PA+A^TP+Q-PBR^{-1}B^TP=0$

应该指出的是，这种设计所得到的闭环控制系统是渐进稳定的。

在MATLAB中，提供了lqr函数用于求无限时间LQ状态调节问题，函数的调用格式为：

[K,P,e]=lqr(sys,Q,R,N); % 计算联系时间系统的最优反馈增益矩阵% K为最优反馈增益矩阵% P为对应的Riccati方程的解% e为对应的闭环系统的极点% Q为状态权重矩阵% R为输入权重矩阵% N为状态，输入交叉权重矩阵

其性能指标为：

$J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}[x^TQx+u^TRu+2x^TNu]dt$

默认时N=0。

例如：

假设系统状态空间表达式为：

$\dot{x}(t)=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 0&0 & 1\\ -1 & -4 &-6 \end{bmatrix}x(t)+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u(t)$

采用输入反馈，系统的性能指标为：

$J=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}[x^TQx+u^TRu]dt$

取 $Q=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix},R=1$

试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵，并绘制闭环系统的阶跃响应曲线。

MATLAB代码如下：

clear all;clc;
A=[0 1 0;0 0 1;-1 -4 -6];
B=[0 0 1]';
C=[1 0 0];
D=0;
sys=ss(A,B,C,D);
Q=diag([1,1,1]);
R=1;
[K P e]=lqr(sys,Q,R);
Ac=A-B*K;
Bc=B;
Cc=C;
Dc=D;
sysC=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);
step(sysC);
xlabel('time(s)');
ylabel('response')
title('step response');
grid on

程序运行结果如下：