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数据结构概述和时间空间复杂度

1. 什么是数据结构

数据结构（Data Structure）是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

2. 什么是算法

算法（Algorithm）就是定义良好的计算过程，他取一个或一组值最为输入，并产生一个或一组值作为输出。简单来说就是一系列的计算步骤，用来将输入的数据转化成输出结果。

3. 算法效率

算法在编写成可执行程序后，运行需要耗费时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好坏一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经计算机行业的迅速发展，计算机存储容量已经到达了很高的程度。所以我们如今不太需要太过于关注一个算法的空间复杂度（但是大的离谱的情况还是要注意一下的）。

4. 时间复杂度

4.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法运行起来的时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上来说，是算不出来的，因为每次计算的时间都与计算机的性能和输入的数据的复杂程度有关。所以为了分析算法耗费的时间，就有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所消耗的时间与其中的语句执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

我们可以计算上面代码中Func1执行的基本操作次数：$F(N)=N^2+2\ast N+10$

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

实际我们计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

4.2 大O的渐进表示法

大O符号（big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

上面的$F(N)=N^2+2\ast N+10$使用大O阶渐进表示法以后就是：$O(N^2)$。

另外，一个算法的时间复杂度可能存在最好、平均、最坏三种情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）。
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数。
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）。

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。

5. 空间复杂度

空间复杂度和时间复杂度类似，也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少比特的空间，而是变量的个数，空间复杂度的计算规则和时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

6. 常见的复杂度对比

复杂度表达式	大O渐进表示法	数量级
$5201314$	$O(1)$	常数阶
$3N+4$	$O(N)$	线性阶
$3N^2+4N+5$	$O(N^2)$	平方阶
$3lo{g}_{2}N+4$	$O(logN)$	对数阶
$2N+3lo{g}_{2}N+14$	$O(NlogN)$	NlogN阶
$N^3+2N^2+6$	$O(N^3)$	立方阶
$2^n$	$O(2^N)$	指数阶