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新手村：过拟合（Overfitting）

什么是过拟合？

过拟合 是指机器学习模型在 训练数据 上表现优异（如高准确率或低误差），但在 新数据（如测试集或验证集）上表现显著下降的现象。

• 核心原因：模型过度学习了训练数据中的 噪声、细节或随机波动，而未能捕捉数据的 本质规律。
• 本质：模型的复杂度远超问题实际所需，导致对训练数据的“死记硬背”而非“理解”。

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表现

过拟合的典型特征可以通过以下现象判断：

表现	具体描述
训练误差低，测试误差高	模型在训练集上误差极小（如准确率接近100%），但在未见过的测试集上误差显著增大。
模型过于复杂	模型包含过多参数（如高阶多项式、深度神经网络）、决策树分支过多或规则过于精细。
对噪声敏感	模型将训练数据中的噪声（如异常值、标签错误）当作重要特征进行学习。
泛化能力差	在新数据上无法稳定预测，甚至出现“离谱”结果（如图像分类中将背景噪声误认为关键特征）。
学习曲线异常	随着训练轮次增加，训练误差持续下降，而验证误差开始上升

示例：高阶多项式回归

假设真实数据由二次函数生成，但模型使用 9次多项式 拟合：

• 训练集：模型过于拟合训练集点的分布，导致在测试集上存在大的误差。
• 测试集：模型因过度拟合噪声，在新数据上剧烈震荡，误差极大

具体来说，二次函数可以表示为：

$$y=a{x}^2+bx+c$$

而9次多项式可以表示为：

$$y=a_9{x}^9+a_8{x}^8+a_7{x}^7+a_6{x}^6+a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$

由于9次多项式有更多参数，它可以通过调整这些参数来完美地拟合训练数据中的每一个点，包括那些由随机噪声产生的点。

这导致模型在训练数据上表现得非常好，但在新的数据上，由于这些高次项无法泛化到真实的数据生成过程，模型的预测会变得非常不准确。

因此，虽然9次多项式在训练数据上可能有很低的误差，但在实际应用中，它可能无法做出准确的预测。

相比之下，一个二次函数模型虽然在训练数据上可能有更高的误差，但它更有可能在新的数据上做出准确的预测，因为它更接近真实的数据生成过程。

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常见原因

过拟合的产生通常由以下因素导致：

(1) 模型复杂度过高

• 参数过多：模型包含大量参数（如深度神经网络、高阶多项式），能“记住”每个训练样本的细节。
• 决策树过度生长：决策树未限制深度或节点分裂条件，导致节点仅包含少数样本（如纯事件或非事件数据）。
• 神经网络训练过长：训练次数过多（Overtraining），模型过度拟合训练数据中的噪声。

(2) 数据问题

• 数据量不足：训练数据太少，无法代表真实分布，模型被迫学习噪声。
• 噪声或异常值干扰：数据中存在标签错误、测量误差或无关特征，模型误将其当作规律。
• 特征冗余：输入特征过多且相关性高（多重共线性），导致模型依赖无关特征。

(3) 训练过程不当

• 未使用正则化：缺乏L1/L2正则化、Dropout等约束，模型参数无限制增长。
• 未划分验证集：仅用训练集评估模型，无法及时发现过拟合。
• 交叉验证缺失：未通过K折交叉验证评估模型的泛化能力。

(4) 特征工程问题

• 特征选择不当：保留了与目标无关的特征，干扰模型学习。
• 特征构造过度：通过多项式扩展或复杂变换生成过多特征，增加模型复杂度。

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典型案例场景

1. 案例1：高阶多项式回归

   • 场景：用9次多项式拟合二次函数生成的数据。
   • 现象：
     • 训练集误差极低，但测试集误差极高。
     • 模型曲线剧烈波动，试图穿过每个训练点（如图2）。

2. 案例2：决策树过拟合

   • 场景：未限制深度的决策树分类。
   • 现象：
     • 树的叶子节点仅包含少量样本（如纯类别）。
     • 新数据若与训练样本稍有差异，预测结果即出错。

3. 案例3：神经网络过拟合

   • 场景：用小型数据集训练大型神经网络（如CIFAR-10的子集）。
   • 现象：
     • 在训练集上准确率100%，但测试集仅50%。
     • 模型对输入的微小扰动（如噪声）极度敏感。

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总结

维度	过拟合
定义	模型在训练集表现好，新数据表现差，因过度学习噪声和细节。
核心原因	1 模型复杂度过高 2 数据不足/噪声 3 训练过程不当。
关键表现	训练误差低、测试误差高，模型复杂度远超问题需求。

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6. 延伸思考

• 如何区分过拟合与欠拟合：
  • 过拟合：训练误差低，测试误差高（模型太复杂）。
  • 欠拟合：训练和测试误差均高（模型太简单）。
• 过拟合的解决方法：
  • 正则化（L1/L2、Dropout）、简化模型、增加数据、交叉验证等

参考

9次多项式代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split# 生成二次函数数据
np.random.seed(0)  # 设置随机种子以保证结果可重复
a, b, c = 2, -3, 1  # 二次函数的系数
x = np.linspace(-5, 5, 100).reshape(-1, 1)  # x值范围从-5到5，共100个点
y_true = a * x**2 + b * x + c  # 真实的二次函数值
noise = np.random.normal(0, 10, size=y_true.shape)  # 添加噪声
y_noisy = y_true + noise  # 带噪声的数据# 划分训练集和测试集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y_noisy, test_size=0.2, random_state=42)# 使用9次多项式拟合数据
poly_features = PolynomialFeatures(degree=9, include_bias=False)
X_train_poly = poly_features.fit_transform(x_train)
X_test_poly = poly_features.transform(x_test)model = LinearRegression()
model.fit(X_train_poly, y_train)# 生成拟合曲线的y值
x_fit = np.linspace(-5, 5, 400).reshape(-1, 1)  # 更细密的x值范围用于平滑曲线
X_fit_poly = poly_features.transform(x_fit)
y_fit = model.predict(X_fit_poly)# 计算训练集和测试集上的均方误差（MSE）
train_mse = np.mean((model.predict(X_train_poly) - y_train)**2)
test_mse = np.mean((model.predict(X_test_poly) - y_test)**2)print(f"训练集 MSE: {train_mse:.4f}")
print(f"测试集 MSE: {test_mse:.4f}")# 绘制原始数据和拟合曲线
plt.figure(figsize=(12, 6))# 绘制带噪声的数据点
plt.scatter(x, y_noisy, label='带噪声的数据点', color='red', alpha=0.6)# 绘制真实的二次函数曲线
plt.plot(x, y_true, label='真实的二次函数 $y = 2x^2 - 3x + 1$', color='blue')# 绘制9次多项式拟合曲线
plt.plot(x_fit, y_fit, label='9次多项式拟合曲线', color='green', linestyle='--')# 绘制训练集数据点
plt.scatter(x_train, y_train, label='训练集数据点', color='orange', alpha=0.8)# 绘制测试集数据点
plt.scatter(x_test, y_test, label='测试集数据点', color='purple', alpha=0.8)plt.title('用9次多项式拟合二次函数生成的数据并展示过拟合', fontsize=16)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()