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欧几里得距离公式

欧几里得距离（Euclidean Distance）是计算两点之间直线距离的一种方法。它是最常见的距离度量方式之一，广泛应用于数学、物理、机器学习、计算机视觉等领域。

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公式定义

1. 二维空间

在二维平面上，假设有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) ，它们之间的欧几里得距离为：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

2. 三维空间

在三维空间中，假设两个点 A(x1, y1, z1) 和 B(x2, y2, z2) ，它们之间的欧几里得距离为：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

3. 高维空间

在 n 维空间中，假设两个点 A(a1, a2, …, an) 和 B(b1, b2, …, bn) ，它们之间的欧几里得距离为：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(b_i-a_i{)}^2}$$

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几何意义

欧几里得距离表示两点之间的直线距离，也称为“鸟瞰距离”。它是两点间最短的路径长度。

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示例计算

示例 1：二维空间

设点 A(3, 4) 和点 B(7, 1) ，则欧几里得距离为：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(7-3{)}^2+(1-4{)}^2}=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

示例 2：三维空间

设点 A(1, 2, 3) 和点 B(4, 6, 8) ，则欧几里得距离为：
$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}\approx 7.07$$

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与其他距离公式的对比

1. 曼哈顿距离

• 曼哈顿距离是沿着坐标轴方向移动的距离之和：
  $$d_{\text{Manhattan}}(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$$
• 曼哈顿距离通常比欧几里得距离大，因为它不允许斜向移动。

2. 切比雪夫距离

• 切比雪夫距离取各维度差值的最大值：
  $$d_{\text{Chebyshev}}(A,B)=\max (|x_2-x_1|,|y_2-y_1|)$$
• 切比雪夫距离适合描述“棋盘上国王的移动距离”。

3. 闵可夫斯基距离

• 欧几里得距离是闵可夫斯基距离的一种特殊情况（ p=2 ）：
  $$d_{\text{Minkowski}}(A,B)={\left(\sum _{i=1}^n|b_i-a_i{|}^p\right)}^{1/p}$$
  当 p=2 时为欧几里得距离，当 p=1 时为曼哈顿距离。

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总结

欧几里得距离是一种直观且广泛应用的距离度量方法，适用于多种场景。它的核心思想是计算两点之间的直线距离，简单高效，但在高维空间中可能受到“维度灾难”的影响。

$$d_{\text{Euclidean}}(A,B)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(b_i-a_i{)}^2}$$