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神经网络

神经元与大脑

1. 神经网络神经元的结构：

   输入（Input）：接收来自前一层神经元的信息。
   权重（Weights）：每个输入都有一个权重，表示其重要性。
   加权和（Weighted Sum）：神经元对所有输入信号进行加权求和。
   偏置（Bias）：调整加权和的结果，使得网络能更好地拟合数据。
   激活函数（Activation Function）：决定该神经元是否激活，通常使用像 ReLU、Sigmoid、Tanh 等函数。

2. 信号传递：

   神经元接收来自前一层的输入信号，并对这些信号进行加权求和（相当于神经元的“树突”部分），然后通过激活函数处理，输出传递给下一层的神经元。

3. 激活函数：

激活函数的作用在于对输入进行非线性变换，使得神经网络可以学习复杂的模式。例如，ReLU（Rectified Linear Unit）函数会输出输入信号与0的较大值，帮助网络解决梯度消失问题

神经网络中的层

1. 基础层(通常用于前馈网络)

1. 全连接层（Dense/Fully Connected Layer）
   每个神经元与前一层的所有神经元连接，用于学习全局特征。
   示例： 传统多层感知机（MLP）中的核心层。

2. 激活函数层（Activation Layer）
   引入非线性（如ReLU、Sigmoid、Tanh），使网络能够拟合复杂函数。
   注意： 通常不单独作为一层，而是与其他层结合使用。

2. 卷积神经网络（CNN）专用层

2.1 卷积层（Convolutional Layer）
通过卷积核提取局部特征（如边缘、纹理），适用于图像、视频等网格数据。变体： 1D（时序数据）、2D（图像）、3D（视频/体数据）。

2.2 池化层（Pooling Layer）
降维并保留关键特征（如最大池化、平均池化），增强平移不变性。

2.3 转置卷积层（Transposed Convolution）
用于上采样（如图像生成、分割），扩大特征图尺寸。

2.4 空洞卷积（Dilated Convolution）
扩大感受野而不增加参数量，适用于语义分割等任务。

3. 循环神经网络（RNN）专用层

3.1 简单RNN层（Vanilla RNN）
处理序列数据，但存在梯度消失问题。

3.2 长短时记忆层（LSTM）
通过门控机制（输入门、遗忘门、输出门）解决长程依赖问题。

3.3 门控循环单元（GRU）
LSTM的简化版，合并部分门结构，计算效率更高。

3.4 双向层（Bidirectional RNN/LSTM/GRU）
同时捕捉前向和反向的序列依赖关系。

4. 注意力机制相关层

4.1 自注意力层（Self-Attention）
计算输入元素间的相关性（如Transformer的核心层）。

4.2 多头注意力（Multi-Head Attention）
并行多个自注意力机制，捕捉不同子空间的依赖关系。

4.3 交叉注意力（Cross-Attention）
用于处理两个序列间的交互（如编码器-解码器结构）。

5. 归一化与正则化层

5.1 批归一化（Batch Normalization, BN）
对每批数据归一化，加速训练并缓解梯度问题。

5.2 层归一化（Layer Normalization, LN）
适用于RNN或Transformer，沿特征维度归一化。

5.3 Dropout层
随机失活神经元，防止过拟合。

6. 输出层

6.1 Softmax层
多分类任务中输出概率分布。

6.2 Sigmoid层
二分类或概率输出。

6.3 线性输出层
回归任务（无激活函数）。

前向传播与反向传播

前向传播

定义：数据从输入层逐层传递到输出层，最终生成预测值的过程。每一层的输出是下一层的输入。
步骤：
1. 输入数据：将样本数据输入网络的第一层（如全连接层、卷积层等）。
2. 逐层计算：每一层对输入进行线性变换（如矩阵乘法、卷积运算）和非线性激活（如ReLU）。

  从输出层开始，逐层计算损失对参数的梯度（链式法则）。例如，全连接层的梯度计算：

$$z^{(l)}=W^{(l)}\cdot a^{(l-1)}+b^{(l)},a^{(l)}=\sigma (z^{(l)})$$
其中，W是权重，b是偏置，a是激活值，σ是激活函数。
输出结果：最后一层（输出层）的激活值即为预测值（如分类概率或回归值）。
作用计算模型的预测输出。

为反向传播提供中间结果（如激活值、未激活值z）。

反向传播

定义：通过链式法则计算损失函数对每个参数的梯度，并从输出层反向传播误差信号至输入层，用于更新权重和偏置。

步骤：

1. 计算损失：通过损失函数（如交叉熵、均方误差）比较预测值与真实值的误差。
   $$L=\text{Loss}(y,\hat{y})$$
2. 反向传播梯度：
   从输出层开始，逐层计算损失对参数的梯度（链式法则）。

例如，全连接层的梯度计算：
$$\frac{\partial L}{\partial W^{(l)}}=\frac{\partial L}{\partial a^{(l)}}\cdot \frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}}\cdot \frac{\partial z^{(l)}}{\partial W^{(l)}}$$
3 . 更新参数：使用优化器（如SGD、Adam）根据梯度调整参数：
$$\begin{array}{rl}\text{更新规则：}& \\ W^{(l)}& \leftarrow W^{(l)}-\eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W^{(l)}}\\ \text{其中：}& \\ \eta & :\text{学习率}\\ \frac{\partial L}{\partial W^{(l)}}& :\text{损失对第 }l\text{ 层权重的梯度}\end{array}$$
作用：
确定参数更新方向，最小化损失函数。

高效计算梯度（避免手动推导每一层的梯度）。

如何构建一个神经网络

from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
from tensorflow.keras.optimizers import Adam
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 1. 准备数据
#make_classification 是 scikit-learn (sklearn) 库提供的一个函数，用于生成随机的分类数据集
# 参一：样本个数 参2：每个样本的特征数 参3:几分类 参4：随机种子
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=20, n_classes=2, random_state=42)
#test_size 表明将20%的数据用于测试
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 2. 构建模型
model = Sequential([Dense(units = 64, activation='relu', input_shape=(20,)),  # 第一隐藏层，表明有64个神经元，输出64维度的特征表示Dense(units = 32, activation='relu'),                     # 第二隐藏层，表明有32个神经元，输出32维度的特征表示Dense(units = 1, activation='sigmoid')                    # 输出层(二分类)
])
#如何计算参数数量
## 参数数 = (输入维度 × 神经元数量) + 偏置数 以第一层举例吧。 输入维度20 神经元数量 64 ，偏置数 64 all： 20* 64 + 64# 3. 编译模型
#损失函数：使用的是二元交叉熵损失函数。
#使用的是 Adam（Adaptive Moment Estimation）优化器
#评估指标：这里用的是准确率（accuracy）。
model.compile(optimizer=Adam(learning_rate=0.001),loss='binary_crossentropy',metrics=['accuracy'])# 4. 训练模型
#意思：epochs=50,整个训练数据会被“完整地”送入模型进行训练 50 次。
# batch_size=32, 每次更新权重和计算梯度的时候使用32个样本
# validation_split=0.2 把 20% 的训练数据自动拿出来作为验证集，20%的数据不参与计算，只用来评估模型
history = model.fit(X_train, y_train, epochs=50, batch_size=32, validation_split=0.2)
# plt.plot(history.history['accuracy'], label='Train Accuracy')
# plt.plot(history.history['val_accuracy'], label='Val Accuracy')
# plt.legend()
# plt.show()
# 5. 评估模型
loss, accuracy = model.evaluate(X_test, y_test)
print(f"测试集准确率: {accuracy:.4f}")# 6. 进行预测
sample = X_test[0:1]  # 取第一个测试样本
prediction = model.predict(sample)
print(f"预测概率: {prediction[0][0]:.4f}")
print(f"实际结果:{y_test[0]}")

什么是 logits？
是指 没有经过 sigmoid 的原始输出值

比如模型最后输出的是 [-1.2, 0.5, 3.0] 这种线性值

✅ 什么是 概率？
是已经被 sigmoid “压缩”到 [0, 1] 范围内的结果

比如 sigmoid 后变成了 [0.23, 0.62, 0.95]
注： 在输出层没有sigmod 的情况下，我们需要将loss写为
loss = BinaryCrossentropy(from_logits=True)，意思就是让你去给我做个sigmod，我需要拿到的是最终的一个概率值。而不是一堆线性值。

激活函数

Relu 激活函数

$$g(z)=max(0,z)$$
要么0，要么正值的一个输出

sigmod函数

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
二分类的一个预测

softmax函数

import numpy as npdef softmax(z):z = z - np.max(z)  # 稳定处理exp_z = np.exp(z)return exp_z / np.sum(exp_z)print(softmax([2.0, 1.0, 0.1]))#[0.659, 0.242, 0.098] 概率和为1

场景：多分类

多类别的分类问题

特性：概率和为1 ，
常用的激活函数：softmax函数
假设有四个分类z1，z2，z3，z4.
$$z_1=w1\mathbf{x}+b1$$
$$z_2=w2\mathbf{x}+b2$$
$$z_3=w3\mathbf{x}+b3$$
$$z_4=w4\mathbf{x}+b4$$
这四个公式，经过softmax后
$$a_1=\frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}+e^{z_4}}=p(y=1|\mathbf{x})$$
$$a_2=\frac{e^{z_2}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}+e^{z_4}}=p(y=2|\mathbf{x})$$
$$a_3=\frac{e^{z_3}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}+e^{z_4}}=p(y=3|\mathbf{x})$$
$$a_4=\frac{e^{z_4}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}+e^{z_4}}=p(y=4|\mathbf{x})$$
逻辑回归的损失函数：
$$loss(a_1,...a_n)=-lo{g}_{a_n}$$

模型的评估

分类的模型

假设这里有个二分类的问题，一个正一个负的选择
TP: 真正(true positive)
TN: 真负(true negative)
FP: 假正(false positive)
FN: 假负(false negative)
准确率：
$$accuracy=\frac{TP+TN}{TP+TN+FP+FN}$$
精确率：
$$precision=\frac{TP}{TP+FP}$$
召回率：
$$recall=\frac{TP}{TP+FN}$$
F1分数：
$$F1=2\ast \frac{precision\ast recall}{precision+recall}$$

回归模型

均方误差：
$$\text{MSE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$
平方误差，偏差大时惩罚更重
均方根误差：
$$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}$$
平均绝对误差（MAE）
$$\text{MAE}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|y_i-{\hat{y}}_i|$$
决定系数：
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
越接近 1 越好，表示模型解释了多少方差（1 是完美预测）