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检测原理
边缘检测是指检测图像中的一些像素点，它们周围的像素点的灰度发生了急剧的变化，因此可以将这些像素点作为一个集合,用于标注图像中不同物体的边界。
边缘是图像上灰度级变化很快的点的集合。这些点的梯度往往很大。因此我们可以使用一阶导数和二阶偏导数来进行求解，但图像是离散的数据并以矩阵的形式存储，并不能像数学理论中对直线或曲线一样求导，所以我们使用差分来近似微分，采用不同的差分模板来对原图像进行卷积运算进而实现对图像求导。
导数算子卷积模板推导
这里，我们以一阶导数算子Prewitt和二阶导数算子Laplacian的卷积模板为例,进一步推导说明其由来。
我们知道,一个函数的一阶与二阶导数可以表示为：
那么对于离散的函数,其一阶差分为：
……(1)
……(2)
(1)式-(2)式我们可以得到其二阶差分为：
……(3)
(1)式+(2)式可以得到:
……(4)
这里要注意的是，(4)式并不是标准意义上的一阶差分,不过，其可看做是一种"中心差分"的形式，这里我们也近似把它看做一阶差分。实际上这种中心差分的形式主要是为了和我们图像中最常用的3x3卷积模板相配合使用。
我们知道，对于平面图像来说，其有两个方向，并且图像坐标系的原点位于左上角 。
图像坐标系
Prewitt算子
prewitt模板分为x与y两个方向。
Prewitt算子在x,y方向上的卷积模板
这里我们设模板中心点的坐标为 ,那么其在x方向上的一阶差分利用(4)式可以近似表示为:
提取系数1，0，-1并应用到3x3模板中的每一行便得到了Prewiitt算子在x方向上的卷积模板。
同理，将x变换为y后应用到3x3模板中的每一列便得到了Prewitt算子在y方向上的卷积模板。
Laplacian算子
Laplacian算子模版同时考虑x与y两个方向
图(a) Laplacian算子卷积模板 图(b)
因此其在差分时是二元差分，我们设3x3卷积模板中心坐标为(x,y)，那么在4邻域范围内,即，其二阶差分结果为：
提取系数并填入3x3卷积模板中便得到了图(a)所示的Laplacian卷积模板,同时考虑到对角线上的元素,我们也进行二阶差分,然后便得到了如图(b)更通用的Laplacian算子。
Laplacian卷积模板有个特点是中心处为负，周边为正，且模板内所有元素之和为0。
常见算子
一阶导数算子
Roberts(重点关注斜对角线)
Prewitt
Sobel(Prewitt基础上给予中心位置更大权重)
对于一阶导数算子而言,我们最后还需要使用不同的范数来计算其在x,y方向上梯度矢量的幅度。
一般而言，我们可以使用L2范数,此时幅度值为：
Canny算子
Canny算子的计算步骤如下:
- 用高斯滤波器平滑图像，去除噪声。
- 用一阶差分偏导计算梯度方向和幅度(Sobel算子)。
- 对梯度值不是极大值的地方进行抑制，将不是机制的点全部置0，去掉大部分的边缘，所以图像边缘会变细。
二阶导数算子
Laplacian
Mar算子
Marr算子通常由两部分组成：一个高斯滤波器用于平滑图像，减少噪声的影响；一个差分算子用于检测亮度变化。在每个像素点上进行如下计算：
- 用一个2D的高斯平滑模板与原图像卷积。
- 计算卷积后图像的拉普拉斯值。
- 检测图像中的过零点，将其作为边缘点。
LOG算子
LOG算子的全称是Laplacian of Gaussian，即高斯拉普拉斯算子。它结合了拉普拉斯算子(用于边缘增强)和高斯滤波器(用于去噪的特点)
常用边缘检测算子检测特点比较
简而言之，我们这里介绍的边缘检测算子都是基于梯度，因此其内部的数字都基于差分结果的系数。不同的区别在于，他们中有些使用的差分阶数不同，有些考虑到了使用滤波模版，有些考虑到了中心像素点的权重，有些重点关注斜对角线上像素点的差分结果……但是追根溯源，都不外乎是在利用卷积运算查找灰度值变化明显的地方，这也是边缘的概念所在。