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在生态系统的研究中，捕食者与猎物之间的相互作用一直是重点关注领域。今天就来深入探讨一种考虑了多种因素的捕食者-猎物模型，文章《Pattern dynamics analysis of spatial fractional predator-prey system with fear factor and refuge》，对其进行学习和复现，主要使用有限差分的方法。

文章内容

文章的核心内容是研究一个具有恐惧效应、避难所保护和分数阶扩散的捕食者-猎物系统的空间模式动态。文章通过数学建模和数值模拟，探讨了系统在二维和三维空间中的模式形成机制及其稳定性，揭示了系统参数和初始条件对模式选择和稳定性的影响。

1. 研究背景

捕食者 - 猎物的相互作用广泛存在，猎物对捕食者的恐惧会改变其防御能力，影响繁殖并引发生态食物链的连锁反应，同时许多猎物会因捕食风险寻求避难所。在较大空间或时间尺度下，动物运动产生Lévy飞行，其对应异常扩散，这表明分数阶扩散在模式形成中可能起重要作用。因此，考虑猎物对捕食者的恐惧、猎物庇护所以及分数阶扩散，构建空间分数阶捕食者 - 猎物模型，分析模式形成、不同模式的选择与稳定性，为控制种群分布提供理论依据。

2. 捕食者-猎物模型的构建与演化

通过一步步构建和完善模型，能够更全面、更准确地研究捕食者 - 猎物系统在复杂生态环境中的动态变化。

基础模型构建

选择了猎物和捕食者共同生活的栖息地作为研究对象，用 $X(t)$ 和 $Y(t)$ 分别表示猎物和捕食者在时刻 $t$ 的数量。在自然界中，猎物会因为对捕食者的恐惧而改变自身行为，这种恐惧还会影响它们的繁殖率。为了描述这一现象，科学家们引入了恐惧因子 $F(f_0,Y)=\frac{1}{1+f_{0}Y}$ ，这里的 $f_0$ 代表猎物对捕食者的恐惧程度。想象一下，当周围捕食者数量 $Y$越多，猎物的恐惧程度越高，这个因子$F(f_0,Y)$值就会越小，也就意味着恐惧对猎物繁殖等行为的抑制作用越强。

同时，我们知道很多猎物会寻找避难所来躲避捕食。这里假设部分猎物（数量为 $eX$ ）能够在避难所中受到完全保护，而剩下的 $(1-e)X$ 则会暴露在捕食者面前，成为它们的潜在食物。其中，$e$的取值范围是 $[0,1)$，它用来衡量避难所的有效性。$e$越接近1，说明避难所对猎物的保护效果越好。

此外，模型还考虑了Allee效应和Leslie - Gower功能反应。综合这些因素，构建出了最初的捕食者 - 猎物系统：
$$\{\begin{array}{l}\frac{dX}{dT}=\frac{aX}{1+f_{0}Y}\end{array}$$