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ST表(Sparse Table)

可重复贡献问题

• $xoptx=x$ ：如果两个区间重复计算某些元素时，对重复元素进行$opt$操作没有任何影响

理解

ST表的思想是倍增，每一次处理上一次处理的两倍的元素，倍增的方式有重叠部分，如果重叠部分可重复贡献，则倍增的思路是正确的。

• 长度：int len=log2(n),向下取整，避免出现无效元素参与计算
• 构造时的递推公式：amax[j][m] = max(amax[j - 1][m], amax[j - 1][m + (1 << j - 1)])，例子：第3层第1个元素，由第2层第1，2，3个元素累积得到，其中第二个元素出现重复。
• query：max(amax[len][l], amax[len][r - (1 << len) + 1])，首先查询当前层l处的元素，然后考虑当前层代表了$2^{len}$个元素，由第一层元素反推第len层元素。

模板

• init()操作：$O(nlogn)$复杂度

		int len = log2(n);for (int j = 1; j <= len; j++) {for (int m = 1; m <= n - (1 << j) + 1; m++) {amax[j][m] = max(amax[j - 1][m], amax[j - 1][m + (1 << j - 1)]);amin[j][m] = min(amin[j - 1][m], amin[j - 1][m + (1 << j - 1)]);}}

• query()操作:$O(1)$，仅仅支持静态查询，不支持任意修改方式

int query(int l,int r,int flag) {//flag==1 maxint len = log2(r - l + 1);if (flag)return max(amax[len][l], amax[len][r - (1 << len) + 1]);return min(amax[len][l], amax[len][r - (1 << len) + 1]);
}

• 优化：log2操作比较费时，所以可以采用dp方式优化该运算。

lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;

例题

• P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题
• P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G：模板题

• P7333 [JRKSJ R1] JFCA：环的处理，二分的选择。

• P8818 [CSP-S 2022] 策略游戏

• P10059 Choose：二分，注意到当L=n-k+1时，就能取到X的最大值，且L的取值与取到X的最大值有单调关系，使用二分。