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考研数据结构之图的应用：最小生成树、最短路径、拓扑排序与关键路径

图（Graph）作为数据结构中的核心内容，在实际应用中具有广泛价值。本文将系统讲解图的四大经典应用——最小生成树、最短路径、拓扑排序与关键路径，并探讨有向无环图（DAG）在表达式优化中的作用，结合真题解析帮助读者掌握核心逻辑。

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一、最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）

1. 定义与适用场景

• 定义：无向连通图中，选取n-1条边连接所有顶点，且总权重最小的生成树。
• 应用场景：
  • 网络布线（如电力网、通信网）的最低成本设计。
  • 旅行商问题（TSP）的近似解法。

2. 经典算法

• Prim算法：
  从任意顶点开始，逐步选择当前距离已选集合最近的顶点，适合稠密图。
• Kruskal算法：
  按边权重从小到大依次选择，同时避免环路，适合稀疏图。

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二、最短路径（Shortest Path）

1. 单源最短路径（Dijkstra算法）

• 核心思想：贪心策略，维护一个距离数组dist，每次选择距离源点最近的顶点进行松弛操作。
• 限制：不能处理负权边。
• 应用：地图导航中的最优路径规划（如高德地图）。

2. 多源最短路径（Floyd算法）

• 核心思想：动态规划，通过三重循环更新所有顶点对的最短路径。
• 优势：可处理负权边（但图中不能有负权环）。

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三、拓扑排序（Topological Sort）

1. 定义与适用场景

• 定义：对有向无环图（DAG）的顶点进行线性排序，使得所有边均从排在前面的顶点指向后面的顶点。
• 应用场景：
  • 任务调度（如课程学习顺序、软件构建依赖）。
  • 代码编译中的依赖关系解析。

2. 算法实现

• Kahn算法：
  1. 统计所有顶点的入度。
  2. 将入度为0的顶点加入队列。
  3. 依次删除队列中的顶点，并更新其邻接点的入度。

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四、关键路径（Critical Path）

1. 定义与适用场景

• 定义：在带权有向无环图（AOE网）中，从源点到汇点的最长路径，决定整个工程的最短完成时间。
• 应用场景：
  • 项目管理中的进度优化（如建筑施工）。
  • 计算机流水线指令调度。

2. 关键活动计算

• 参数：
  • ve[i]：顶点i的最早发生时间。
  • vl[i]：顶点i的最晚发生时间。
  • e[j]：活动j的最早开始时间。
  • l[j]：活动j的最晚开始时间。
• 关键活动：满足e[j] = l[j]的活动。

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五、有向无环图（DAG）描述表达式

1. 应用场景

• 表达式优化：通过DAG合并公共子表达式，减少计算冗余。
  示例：
  表达式(a + b) * (a + b)可表示为：

      */ \+   a/ \
  a   b
  

  公共子表达式a + b仅计算一次。

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六、真题解析

1. 最小生成树算法选择

题目（2022年真题，）：

给定一个稀疏图，应选择Prim算法还是Kruskal算法？

答案：
Kruskal算法更适合稀疏图，因其时间复杂度为O(E log E)，而Prim算法在稠密图中更高效。

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2. 拓扑排序的应用

题目（经典真题，）：

一个工程的AOV网如下：

A → B → C  
↓   ↓  
D → E  

写出其拓扑排序序列。

解析：
可能的序列包括A → B → D → C → E或A → D → B → C → E，需满足所有边的先后关系。

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七、总结

• 最小生成树与最短路径是资源优化的核心工具，需掌握算法选择与实现。
• 拓扑排序与关键路径是解决工程调度问题的关键技术。
• DAG在表达式优化和任务依赖分析中具有重要价值。