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中心极限定理（CLT）习题集 · 答案与解析篇
与题目篇一一对应。若有其他解法欢迎在评论区补充。
1. 概念与判断题
1.1 经典叙述
若 (X_1,X_2,\dots) i.i.d.，满足
(E[X_1]=\mu,;0<\sigma^2:=\operatorname{Var}(X_1)<\infty)。
则
[
Z_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}(X_k-\mu)}{\sigma\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1).
]
1.2 LLN vs CLT
| 项目 | 大数定理(LLN) | 中心极限定理(CLT) |
|---|---|---|
| 极限 | (\overline{X}_n\to\mu) | (\sqrt{n}(\overline{X}_n-\mu)\to N(0,\sigma^2)) |
| 收敛 | 概率/几乎处处 | 分布 |
| 速度 | 无界定 (常用 (O_p(1/\sqrt{n}))) | 明确给出 (\sqrt{n}) 级别 |
| 应用 | 一致估计 | 置信区间、假设检验 |
1.3 方差无限
| 分布 | Var 是否有限 | CLT 可否用 |
|---|---|---|
| Exp(1) | 有限 | 可 |
| Cauchy | 无 | 不可 |
| Pareto(1.5) | 无限 (α≤2) | 不可 |
| Bernoulli | 有限 | 可 |
1.4 填空
a) (\displaystyle \frac{1}{s_n2}\sum_{k=1}{n}E!\bigl[(X_k-\mu_k)^2\mathbf 1_{{|X_k-\mu_k|>