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推导相干斑满足瑞利分布的过程涉及到对SAR(合成孔径雷达)回波信号的统计特性的分析。在SAR成像中,相干斑是由于地表粗糙度引起的,当地表由许多小的散射体组成时,每个散射体都会反射雷达波,但这些反射波在相位上可能是随机的,导致它们在空间上叠加时产生干涉现象,形成相干斑。

以下是一个简化的推导过程,说明为什么相干斑的强度满足瑞利分布:

  1. 基本假设
    假设每个散射体都是独立的,并且它们反射的雷达波幅度和相位都是随机的。进一步假设这些反射波的幅度服从高斯(正态)分布,相位在 [ 0 , 2 π ) [0, 2\pi) [0,2π)上均匀分布。

  2. 复回波信号
    考虑一个像素点,它接收到的总回波信号是所有散射体反射波的叠加。这个总回波信号可以表示为一个复数:
    在这里插入图片描述

    其中, A i A_i Ai 是第 i i i 个散射体反射波的幅度, ϕ i \phi_i ϕi 是其相位, N N N 是散射体的数量。

  3. 幅度和相位的统计特性
    由于 A i A_i Ai 服从高斯分布,且 ϕ i \phi_i ϕi 均匀分布,我们可以利用中心极限定理来推断 S S S 的统计特性。然而,直接分析 S S S 的分布是复杂的,因为相位 ϕ i \phi_i ϕi 的影响。但我们可以转而分析 S S S 的幅度 ∣ S ∣ |S| S

  4. 幅度的平方
    考虑 ∣ S ∣ 2 |S|^2 S2,即回波信号的功率。由于 S S S 是复数的和, ∣ S ∣ 2 |S|^2 S2 可以表示为:
    在这里插入图片描述

    注意到 cos ⁡ ϕ i \cos\phi_i cosϕi sin ⁡ ϕ i \sin\phi_i sinϕi 都是随机变量,但由于 ϕ i \phi_i ϕi 的均匀分布,它们与 A i A_i Ai 的乘积仍然保持某种随机性。

  5. 利用高斯分布的线性变换
    由于 A i A_i Ai 服从高斯分布,且 cos ⁡ ϕ i \cos\phi_i cosϕi sin ⁡ ϕ i \sin\phi_i sinϕi 的期望值(或“平均效果”)在大量散射体的情况下趋于稳定(尽管它们本身是随机的),我们可以将 ∣ S ∣ 2 |S|^2 S2 视为多个高斯随机变量的平方和的函数。在适当的条件下(如 N N N 足够大,且 A i A_i Ai 的方差不是极端情况),这种平方和的函数将趋近于一个新的高斯分布的随机变量的平方。

  6. 瑞利分布
    然而,直接得出 ∣ S ∣ |S| S 服从瑞利分布需要更复杂的论证,这通常涉及到对 ∣ S ∣ 2 |S|^2 S2 的分布进行变换,并应用概率论中的变换定理。在 N N N 足够大且满足一定条件时,可以证明 ∣ S ∣ |S| S(即相干斑的幅度)服从瑞利分布。

    瑞利分布的概率密度函数为:
    在这里插入图片描述

    其中, σ 2 \sigma^2 σ2 是与 A i A_i Ai 的方差和 N N N 有关的参数。

注意:上述推导是简化和概念性的,实际中瑞利分布的推导涉及更复杂的数学工具和假设。在SAR文献中,可以找到更详细和严格的数学证明。此外,对于某些特定的SAR系统和观测条件,相干斑的分布可能偏离瑞利分布,而需要用更复杂的模型来描述。

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