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一、二叉树

适用场景

一般情况下，两种方式是可以互相转换的，DFS代码会更加简洁。
DFS依赖于递归实现（栈）
BFS依赖于迭代实现（队列）

1. DFS

C++：

void dfs(TreeNode* node) {if (!node) return;//相应的处理dfs(node->left);dfs(node->right);
}

Java：

void dfs(TreeNode node) {if (node == null) return;//相应的处理dfs(node.left);dfs(node.right);
}

Python：

def dfs(node):if not node: return//相应的处理dfs(node.left)dfs(node.right)

2. BFS

C++：

void bfs(TreeNode* root) {queue <TreeNode*> q;q.push(root);while (!q.empty()) {int currentLevelSize = q.size();for (int i = 1; i <= currentLevelSize; ++i) {auto node = q.front(); q.pop();ret.back().push_back(node->val);if (node->left) q.push(node->left);if (node->right) q.push(node->right);}}
}

Java：

void bfs(TreeNode root) {Deque<TreeNode> queue = new LinkedList();queue.addLast(root);while(!queue.isEmpty()) {int n = queue.size();for (int i = 0 ; i < n ; i++) {TreeNode node = queue.pollFirst();if (node.left != null) queue.addLast(node.left);if (node.right != null) queue.addLast(node.right);}}
}

Python：

def bfs(root):queue = deque()if root: queue.append(root)while len(queue):n = len(queue)for i in range(n):node = queue.popleft()if node.left : queue.append(node.left)if node.right: queue.append(node.right)

二、回溯模板

tip 适用场景

用于解决暴力枚举的场景，例如枚举组合、排列等。
C++：

vector<vector<int>> res;
vector<int> path;
void dfs(参数) {if (满足递归结束) {res.push_back(path);return;}//递归方向for (xxx) {path.push_back(val);dfs();path.pop_back();}
}

Java：

List<List<Integer>> res;
List<Integer> path;void dfs(参数) {if(满足递归结束) {res.add(new LinkedList(path));return;}//递归方向for (xxx) {path.add(val);dfs();path.remove(path.size() - 1);}
}

Python：

res = []
path = []def dfs(参数) :if 满足递归结束：res.append(list(path))return# 递归方向for (xxxx):path.append(val)dfs()path.pop()

三、记忆化搜索

适用场景

用于解决枚举过程中存在重复计算的场景问题。
此类题型一般也可以使用动态规划进行求解。
C++：

int dp[]; //初始化为-1，dp数组的维度取决于dfs函数的参数个数。int dfs(int i) {if (递归终止) return 0; //具体返回什么值要看题目的含义if (dp[i] != -1) return dp[i];int cnt = 0;for (递归方向) {cnt += dfs(xxx); //如果是计数，一般是叠加，也有可能是取最大或者最小}return dp[i] = cnt;
}

Java：

int[] dp; //初始化为-1，dp数组的维度取决于dfs函数的参数个数。int dfs(int i) {if (递归终止) return 0; //具体返回什么值要看题目的含义if (dp[i] != -1) return dp[i];int cnt = 0;for (递归方向) {cnt += dfs(xxx); //如果是计数，一般是叠加，也有可能是取最大或者最小}return dp[i] = cnt;
}

Python：

from functools import cache
@cache #缓存，避免重复运算
def dfs(i)->int:if 终止: return 0 #具体返回什么值要看题目的含义cnt = 0for 递归方向:cnt += dfs(xxx) #如果是计数，一般是叠加，也有可能是取最大或者最小return cnt

四、动态规划

1. 01背包

适用场景

给出若干个物品，每个物品具有一定的价值和价格，求解在限定的总额下可以获取的最大价值，注意，每个物品只能选取一次。

朴素版本和滚动数组优化的区别主要在于空间复杂度上，时间复杂度差不多，所以笔试的时候基本上没差别（空间很少会被卡）。

朴素版本

C++：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int v[],  w[]; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int dp[n+1][C+1]; //容器规模
//初始化 dp[0][j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = 0 ; j <= C ; j++) {if (j >= v[i - 1]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]] + w[i - 1]);else dp[i][j] = dp[i - 1][j];}
}
return dp[n][C];

Java：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int[] v,  w; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int[][] dp = new int[n + 1][C + 1]; //容器规模
//初始化 dp[0][j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = 0 ; j <= C ; j++) {if (j >= v[i - 1]) dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]] + w[i - 1]);else dp[i][j] = dp[i - 1][j];}
}
return dp[n][C];

Python：

n, C; #n个物品， C表示背包容量
v,  w; #v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
dp = [[0 for _ in range(C+1)] for _ in range(n+1)] #容器规模
#初始化 dp[0][j] j∈[0,C]
for i in range(1, n+1):for j in range(C+1):if j>=v[i-1]: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i-1]]+W[i-1])else: dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[n][C];

滚动数组优化

C++：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int v[],  w[]; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int dp[C+1]; //容器规模
//初始化 dp[j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = C ; j >=  v[i - 1] ; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i-1]] + w[i - 1]);}
}
return dp[C];

Java：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int[] v,  w; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int dp[C+1]; //容器规模
//初始化 dp[j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = C ; j >=  v[i - 1] ; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i-1]] + w[i - 1]);}
}
return dp[C];

Python：

n, C; //n个物品， C表示背包容量
v,  w; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
dp = [0 for _ in range(C+1)] //容器规模
//初始化 dp[j] j∈[0,C]
for i in range(1, n+1):for j in range(C,v[i-1]-1,-1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i-1]]+w[i-1])
return dp[C];

2. 完全背包

适用场景

给出若干个物品，每个物品具有一定的价值和价格，求解在限定的总额下可以获取的最大价值，注意，每个物品不限制选取次数。

朴素版本和滚动数组优化的区别主要在于空间复杂度上，时间复杂度差不多，所以笔试的时候基本上没差别（空间很少会被卡）。

朴素版本

C++：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int v[],  w[]; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int dp[n + 1][C + 1]; //容器规模
//初始化 dp[0][j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = 0 ; j <= C ; j++) {if (j >= v[i - 1]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i-1]] + w[i - 1]);else dp[i][j] = dp[i - 1][j];}
}
return dp[n][C];

Java：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int[] v,  w; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int[][] dp = new int[n + 1][C + 1]; //容器规模
//初始化 dp[0][j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = 0 ; j <= C ; j++) {if (j >= v[i - 1]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i-1]] + w[i - 1]);else dp[i][j] = dp[i - 1][j];}
}
return dp[n][C];

Python：

n, C; #n个物品， C表示背包容量
v,  w; #v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
dp = [[0 for _ in range(C+1)] for _ in range(n+1)] #容器规模
#初始化 dp[0][j] j∈[0,C]
for i in range(1, n+1):for j in range(C+1):if j>=v[i-1]: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-v[i-1]]+W[i-1])else: dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[n][C];

滚动数组优化

C++：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int v[],  w[]; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int dp[C+1]; //容器规模
//初始化 dp[j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = v[i-1] ; j <= C ; j++) {dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i-1]] + w[i - 1]);}
}
return dp[C];

Java：

int n, C; //n个物品， C表示背包容量
int[] v,  w; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
int dp[C+1]; //容器规模
//初始化 dp[j] j∈[0,C]
for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = v[i-1] ; j <= C ; j++) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i-1]] + w[i - 1]);}
}
return dp[C];

Python：

n, C; //n个物品， C表示背包容量
v,  w; //v[i]表示第i个物品的价格/体积    w[i]表示第i个物品的价值
dp = [0 for _ in range(n+1)] //容器规模
//初始化 dp[j] j∈[0,C]
for i in range(1, n+1):for j in range(C+1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i-1]]+w[i-1])
return dp[C];

3. 最长递增子序列LIS

适用场景

给定一个数组，求数组最长上升子序列的长度。

朴素版本可以求解的数据规模约为 1000。如果题目数据给到了10000或者更大，需要使用贪心+二分进行优化。

朴素版本

C++：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int dp[nums.size()];int ans = 1;dp[0] = 1;for (int i = 1 ; i < nums.size() ; i++) {dp[i] = 1;for (int j = 0 ; j < i ; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);}}ans = max(ans, dp[i]);}return ans;
}

Java：

public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];Arrays.fill(dp, 1);int ans = 1;for (int i = 1 ; i < nums.length ; i++) {for (int j = i - 1 ; j >= 0 ; j--) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);ans = Math.max(ans, dp[i]);}}}return ans;
}

Python：

def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:dp = [1 for _ in range(len(nums))]for i in range(1, len(nums)):for j in range(i):if nums[i] > nums[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)return max(dp)

贪心+二分优化

C++：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<int> ls;for (int num : nums) {auto it = lower_bound(ls.begin(), ls.end(), num);if (it == ls.end()) ls.push_back(num);else *it = num;}return ls.size();
}

Java：

int lengthOfLIS(int[] nums) {List<Integer> ls = new ArrayList<>();for (int num : nums) {int i = Collections.binarySearch(ls, num);if (i < 0) i = -(i + 1);if (i == ls.size()) ls.add(num);else ls.set(i, num);}return ls.size();
}

Python：

def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:ls = []for num in nums:x = bisect_left(ls, num)if x == len(ls):ls.append(num)else:ls[x] = numprint(ls)return len(ls)

4. 最长公共子序列

适用场景

求两个数组或者字符的最长公共的子序列的长度。时间复杂度为O(n^2)
C++：

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {int len1 = text1.size(), len2 = text2.size();vector<vector<int>> dp(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));for (int i = 1 ; i <= len1 ; i++) {for (int j = 1 ; j <= len2 ;j++) {if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[len1][len2];
}

Java：

int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int len1 = text1.length();int len2 = text2.length();int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];for (int i = 1 ; i <= len1 ; i++) {for (int j = 1 ; j <= len2 ; j++) {if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;else dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[len1][len2];
}

Python：

def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:len1, len2 = len(text1), len(text2)dp = [[0] *(len2 + 1) for _ in range(len1 + 1)]for i in range(1, len1 + 1):for j in range(1, len2 + 1):dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 if text1[i - 1] == text2[j - 1] else max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])return dp[len1][len2]

5. 最长回文子串

适用场景

求解一个数组/字符串的最长回文子串的长度，时间复杂度为O(n^2)。
C++：

int longestPalindrome(string s) {int n = s.size();bool dp[n][n];int  mxlen = -1;for (int j = 0 ; j < n ; j++) {for (int i = j ; i >= 0 ; i--) {if (i == j) dp[i][j] = true;else if (i + 1 == j) dp[i][j] = s[i] == s[j];else {dp[i][j] = s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1];}if (dp[i][j] && j - i + 1 > mxlen) {mxlen = j - i + 1;}}}return mxlen;
}

Java：

int longestPalindrome(String s) {int n = s.length();boolean[][] dp = new boolean[n][n];char[] cs = s.toCharArray();int mxlen = 0;for (int j = 0 ; j < n ; j++) {for (int i = j ; i >= 0 ; i--) {if (i == j) dp[i][j] = true;else if (i + 1 == j) dp[i][j] = cs[i] == cs[j];else {dp[i][j] = cs[i] == cs[j] && dp[i + 1][j - 1];}if (dp[i][j] && j - i + 1 > mxlen) {mxlen = j - i + 1;}}}return mxlen;
}

Python：

def longestPalindrome(self, s: str) -> str:n = len(s)dp = [[False] * n for _ in range(n)]maxlen = 0for j in range(n):for i in range(j + 1):if i == j:dp[i][j] = Trueelif i + 1 == j:dp[i][j] = s[i] == s[i + 1]else:dp[i][j] = s[i] == s[j] and dp[i + 1][j - 1]if dp[i][j] and j - i + 1 >= maxlen:maxlen = j - i + 1return mxlen

五、滑动窗口

适用场景

求解数组/字符串 满足某个约束的最长/最短 的子数组/子串。需要满足二段性才可以使用。
C++：

for (int l = 0, r = 0 ; r < n ; r++) {//如果右指针的元素加入到窗口内后，根据题目判断进行滑动左指针while (l <= r && check()) l++;
}

六、二分查找

适用场景

满足二段性的数列中，求某一个值的位置、大于某个值的最小值、小于某个值的最大值。时间复杂度为O(logn)。
C++：

// 区间划分为[l,mid] 和 [mid+1,r]，选择此模板
int bsec1(int l, int r)
{while (l < r){int mid = (l + r)/2;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 	1;}return r;
}// 区间划分为[l,mid-1] 和 [mid,r]，选择此模板
int bsec2(int l, int r)
{while (l < r){int mid = ( l + r + 1 ) /2;if (check(mid)) l = mid;else r = mid - 1;}return r;
}

七、单调栈

适用场景

求序列中下一个更大、更小的元素。时间复杂度O(n)
C++：

stack<int> s;
for (int i = 0; i < n; ++i) {while (!s.empty() && nums[i] > nums[s.top()]) {int top = s.top();s.pop();//此时说明 nums[top]的下一个更大的元素为nums[i]}s.push(i);
}

Java：

Stack<Integer> stack = new Stack();
for (int i = 0 ; i < nums.length ; i++) {while(!stack.isEmpty() && nums[stack.peek()] < nums[i]) {int top = stack.pop();//此时说明 nums[top]的下一个更大的元素为nums[i]}stack.push(i);
}

Python：

stack = []
for i in range(len(nums)):while stack and nums[stack[-1]] < nums[i]:p = stack.pop()# 此时说明 nums[top]的下一个更大的元素为nums[i]stack.append(i)

八、单调队列

适用场景

求解移动区间的最值问题。时间复杂度O(n)
C++：

vector<int> res(nums.size() - k + 1); //存储长长度为k的每一个区间的最值
deque<int> queue;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {if (!queue.empty() && i - k + 1 > queue.front()) queue.pop_front();while (!queue.empty() && nums[queue.back()] < nums[i]) queue.pop_back();queue.push_back(i);if (i >= k - 1) res[i - k + 1] = nums[queue.front()]; 
}
return res;

Java：

int n = nums.length;
int[] res = new int[n - k + 1];
Deque<Integer> q = new LinkedList();
for (int i = 0 ; i < n ; i++) {if (!q.isEmpty() && i - q.getFirst() > k - 1) q.pollFirst();while (!q.isEmpty() && nums[q.getLast()] < nums[i]) q.pollLast();q.addLast(i);if (i >= k - 1) res[i - k + 1] = nums[q.getFirst()];
}
return res;

Python：

res = [0] * (len(nums) - k + 1)
queue = deque()
for i in range(len(nums)):if queue and i - k + 1 > queue[0]:queue.popleft()while queue and nums[queue[-1]] < nums[i]:queue.pop()queue.append(i)if i >= k - 1:res[i - k + 1] = nums[queue[0]]
return res

九、图论

1. 建图

建图的方式一般有两种，邻接矩阵和邻接表；链式前向星有些许晦涩，不一定要掌握。

1.邻接矩阵，适用于稠密图【边的数量远大于点】

2.邻接表，适用于稀疏图【点的数量远大于边】

邻接矩阵

C++：

int graph[n][n];
for (int i = 0 ; i < m ; i++) {int a,b,w; //a和b存在一条边，权重为wcin >> a >> b >> w;graph[a][b] = graph[b][a] = w; // 如果是有向图则不需要建立双向边
}

Java：

int[][] graph = new int[n][n];
for (int i = 0 ; i < m ; i++) {int a,b,w; //a和b存在一条边，权重为wa = scanner.nextInt();b = scanner.nextInt();w = scanner.nextInt();graph[a][b] = graph[b][a] = w; // 如果是有向图则不需要建立双向边
}

Python：

graph = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
for i in range(n):a,b,w = map(int, input().split())graph[a][b] = graph[b][a] = w  # 如果是有向图则不需要建立双向边

邻接表

C++：

vector<vector<pair<int,int>>> graph(n, vector<int>(0));
for (int i = 0 ; i < m ; i++) {int a,b,w; //a和b存在一条边，权重为wgraph[a].push_back({b,w});graph[b].push_back({a,w});  // 如果是有向图则不需要建立双向边
}

Java：

List<List<int[]>> graph = new ArrayList();
for (int i = 0 ; i <= n ;i++) graph.add(new LinkedList());
for (int i = 0 ; i < m ; i++) {int a,b,w; //a和b存在一条边，权重为wa = scanner.nextInt();b = scanner.nextInt();w = scanner.nextInt();graph.get(a).add(new int[]{b,w});graph.get(b).add(new int[]{a,w});// 如果是有向图则不需要建立双向边
}

Python：

graph = defaultdict(list)
for i in range(m):a,b,w = map(int, input().split())graph[a].append([b,w])graph[b].append([a,w])

2. 图的遍历

DFS

C++：

vector<vector<pair<int,int>> graph;
vector<bool> vst;
void dfs(int node) {for (auto p: graph[node]) {int next = p.first, weight = p.second;if (!vst[next]) {vst[next] = true;dfs(next);// 如果需要回溯的话 , vst[next] = false;}}
}

Java：

List<List<int[]>> graph;
boolean[] vst;
void dfs(int node) {for (auto p: graph[node]) {int next = p[0], weight = p[1];if (!vst[next]) {vst[next] = true;dfs(next);// 如果需要回溯的话 , vst[next] = false;}}
}

Python：

graph
vst = [False for _ in range(n)]
def dfs(node):for next,weight in graph[node]:if not vst[next]:vst[next] = Truedfs(next)# 如果需要回溯的话 , vst[next] = false;

BFS

C++：

vector<vector<pair<int,int>> graph;
vector<bool> vst;
void bfs() {queue<int> q;q.push(start);vst[start] = true;while (!q.size()) {int node = q.front();q.pop();for (int p : graph[node]) {int next = p.first, weight = p.second;if (!vst[next]) {vst[next] = true;q.push_back(next);}}}
}

Java：

List<List<int[]>> graph;
boolean[] vst;
void bfs() {Deque<Integer> q;q.addLast(start);vst[start] = true;while (!q.isEmpty()) {int node = q.pollFirst();for (int[] arr : graph.get(node)) {int next = arr[0], weight = arr[1];if (!vst[next]) {vst[next] = true;q.addLast(next);}}}
}

Python：

graph
vst = [False for _ in range(n)]
def bfs():q = deque()q.append(start)vst[start] = Truewhile q:node = q.popleft()for next,weight in graph[node]:if not vst[next]:vst[next] = Trueq.append(next)

3. 拓朴排序

适用场景

求解有向图的拓扑序、有向图判断是否成环

C++：

vector<vector<int> graph;
vector<int> indegre; //存储每个节点的入度
queue<int> q;
for (int i = 0 ; i < n ; i++) {if (indegre[i] == 0)q.push(i);
}while(q.size()) {int node = q.front(); q.pop();for (int next : graph[node]) {indegre[next]--;if (indegre[next] == 0) q.push(next);}
}

Java：

List<List<Integer>> graph;
int[] indegre; //存储每个节点的入度
Deque<Integer> q = new LinkedList();
for (int i = 0 ; i < n ; i++) {if (indegre[i] == 0) q.addLast(i);
}while (!q.isEmpty()) {int node = q.pollFirst();for (int next : graph.get(node)) {indegre[next]--;if (indegre[next] == 0) q.addLast(next);}
}

Python：

graph = [[] for _ in range(n)]
indegre = [0] * n#存储每个节点的入度
q = deque()
for i in range(n):if indegre[i]==0: q.append(i)while q:node = q.popleft()for next in graph[node]:indegre[next]-=1if indegre[next] == 0: q.append(next)

4. 并查集

适用场景

用于解决 连通性问题。比如a和b相邻，b和c相邻，可以判断出a和c相邻。
C++：

int N = 1e5; //点的数量
int fa[N];void init(int n) {for (int i = 0;i < n ; i++) fa[i] = i;
}//找到x的根节点
int find(int x) {return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}//合并两个节点
void union(int x, int y) {fa[find(x)] = find(y);
}

Java：

int[] fa;void init(int n) {fa = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) fa[i] = i;
}
//找到x的根节点
int find(int x) {return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
//合并两个节点
void union(int x, int y) {fa[find(x)] = find(y);
}

Python：

fa = [i for i in range(n)]#找到x的根节点
def find(x):if x == fa[x]: return xfa[x] = find(fa[x])return fa[x]#合并两个节点
def union(x,y):fa[find(x)] = find(y)

5. 最小生成树

适用场景

连接无向图中所有的节点的最小费用。

常见的算法有2种：

1. kruskal：稀疏图，时间复杂度是O(mlogm)。
2. prim：稠密图，时间复杂度是O(n^2)。

ps：n是点的数量，m是边的数量

Kruskal

C++：

int N = 1e5; //点的数量
int fa[N];void init(int n) {for (int i = 0;i < n ; i++) fa[i] = i;
}//找到x的根节点
int find(int x) {return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}//合并两个节点
void union(int x, int y) {fa[find(x)] = find(y);
}int kruskal(vector<vector<int>>& edges, int n, int m) {// edges[i] = {a,b,w} 表示a和b之间存在有一条边，权重为winit(n);sort(edges.begin(), edges.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b){return a[2]<b[2];});int ans = 0;for (auto arr : edges) {int a = arr[0], b = arr[1], w = arr[2];if (find(a) != find(b)) {union(a,b);ans += w;}}return ans;
}

Java：

int[] fa;void init(int n) {fa = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) fa[i] = i;
}
//找到x的根节点
int find(int x) {return x == fa[x] ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
//合并两个节点
void union(int x, int y) {fa[find(x)] = find(y);
}int kruskal(int[][] edges, int n) {// edges[i] = {a,b,w} 表示a和b之间存在有一条边，权重为winit(n);Arrays.sort(edges, (a,b)->a[2]-b[2]);int ans = 0;for (int[] arr: edges) {int a = arr[0], b = arr[1], w = arr[2];if (find(a) != find(b)) {union(a,b);ans += w;}}return ans;
}

Python：

def kruskal(edges:List[List[int]], n:int,m:int) -> int:edges.sort(key=lambda x : x[2])fa = [i for i in range(n)]#找到x的根节点def find(x):if x == fa[x]: return xfa[x] = find(fa[x])return fa[x]#合并两个节点def union(x,y):fa[find(x)] = find(y)    ans = 0for a,b,w in edges:if find(a) != find(b):union(a,b)ans += wreturn ans

Prim

C++：

int prim(vector<vector<int>>& graph, int n) {vector<int> dis(n,INT_MAX);vector<bool> vst(n, false);int res = 0;for (int i = 0 ; i < n ; i++) {int min_index = -1;for (int j = 0 ; j < n ; j++) {if (!vst[j] && (min_index == -1 || dis[min_index] > dis[j]) min_index = j;}if (i != 0) res += dis[min_index];vst[min_index] = true;for (int j = 0 ; j < n ; j++) dis[j] = min(dis[j], graph[min_index][j]);}return res;
}

Java：

int prim(int[][] graph, int n) {int[] dis = new int[n];boolean[] vst = new boolean[n];int res = 0;Arrays.fill(dis, Integer.MAX_VALUE);for (int i = 0 ; i < n ; i++) {int min_index = -1;for (int j = 0 ; j < n ; j++) {if (!vst[j] && (min_index == -1 || dis[min_index] > dis[j]) min_index = j;}if (i != 0) res += dis[min_index];vst[min_index] = true;for (int j = 0 ; j < n ; j++) dis[j] = Math.min(dis[j], graph[min_index][j]);}return res;
}

Python：

def prim(graph: List[List[int]], n: int) -> int:dis = [inf for _ in range(n)]vst = [False for _ in range(n)]res = 0for i in range(n):min_index = -1for j in range(n):if not vst[j] and (min_index == -1 or dis[min_index] > dis[j]) min_index = jif i != 0: res += dis[min_index]vst[min_index] = Truefor j in range(n): dis[j] = min(dis[j], graph[min_index][j])return res

6. BFS层序遍历求最短路

适用场景

如果图中的节点的不存在边权（边权均为1），那么直接BFS即可求出最短路。
C++：

// 返回从st到达target的最短路径
int bfs(int st, int target, int n, vector<vector<int>>& graph) {queue<int> q;vector<bool> vst(n, false);q.push(st);vst[st] = true;int cnt = 0while (!q.size()) {int size = q.size();while(size--) {int node = q.front();q.pop();if (node == target) return cnt;for (int next: graph[node]) {if (vst[next]) continue;vst[next] = true;q.push(next);}}cnt++;}return -1;
}

Java：

// 返回从st到达target的最短路径
int	bfs(int st, int target, int n, List<List<Integer>> graph) {Deque<Integer> q;boolean[] vst = new boolean[n];q.addLast(st);vst[st] = true;int cnt = 0;while (!q.isEmpty()) {int size = q.size();while (size-- > 0) {int node = q.pollFirst();if (node == target) return cnt;for (int next: graph.get(node)) {if (vst[next]) continue;vst[next] = true;q.addLast(next);}}cnt++;}return -1;
}

Python：

def bfs(st: int, target: int, n: int, graph: dict) -> int:q = deque()vst = [False for _ in range(n)]q.append(st)vst[st] = Truecnt = 0while q:size = len(q)for _ in range(size):node = q.popleft()if node == target: return cntfor next in graph[node]:if vst[next]: continuevst[next] = Trueq.append(next)cnt+=1return -1

7. 迪杰斯特拉

朴素版本

C++：

//求st为起点的最短路
//graph[i][j]: i到j的距离，不存在则初始化成最大值
//n表示节点的数量
void dijkstra(int st, int n, vector<vector<int>>& graph) {vector<int> dis(n, INT_MAX);vector<bool> vst(n, false);dis[st] = 0;for (int i = 0 ; i < n ; i++) {int x = -1;for (int j = 0 ; j < n ; j++) {if (!vst[j] && (x == -1 || dis[j] < dis[x])) x=j;}vst[x] = true;for (int j = 0 ; j < n ; j++) {dis[j] = min(dis[j], dis[x] + graph[x][j]);}}
}

Java：

//求st为起点的最短路
//graph[i][j]: i到j的距离，不存在则初始化成最大值
//n表示节点的数量
void dijskra(int[][] G, int st, int ed, int n) {int[] dis = new int[n + 1];Arrays.fill(dis, 100010);dis[st] = 0;boolean[] vst = new boolean[n + 1];for (int i = 0; i < n; i++) {int x = -1;for (int y = 0; y < n; y++) {if (!vst[y] && (x == -1 || dis[y] < dis[x])) x = y;}vst[x] = true;for (int y = 0; y < n; y++) dis[y] = Math.min(dis[y], dis[x] + G[x][y]);}}

Python：

def dijkstra(st: int, n: int, graph: List[List[int]]):dis = [inf for _ in range(n)]vst = [False for _ in range(n)]dis[st] = 0for i in range(n):x = -1for y in range(n):if not vst[y] and (x==-1 or dis[y] < dis[x]): x = yvst[x] = Truefor y in range(n):dis[y] = min(dis[y], dis[x] + graph[x][y])

堆优化版本

C++：

void dijkstra(int st, int n, vector<vector<pair<int,int>>>& graph) {vector<int> dis(n, INT_MAX);vector<bool> vst(n, false);dis[st] = 0;priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> pq; pq.push({0, st});while (!pq.size()) {int d = pq.top().first();int u = pq.top().second();pq.pop();if (vst[u]) continue;vist[u] = true;for (auto [v,w] : graph[u]) {if (dis[v] > dis[u] + w) {dis[v] = dis[u] + w;pq.push({dis[v], v});}}}
}

Java：

void dijkstra(int st, int n, List<List<int[]>> graph) {int[] dis = new int[n];Arrays.fill(dis, Integer.MAX_VALUE);boolean[] vst = new boolean[n];dis[st] = 0;PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>((a,b)->a[0]-b[0]);pq.add(new int[]{0, st});while (!pq.isEmpty()) {int[] arr = pq.poll();int d = arr[0], u = arr[1];if (vst[u]) continue;vst[u] = true;for (int[] A: graph.get(u)) {int v = A[0], w = A[1];if (dis[v] > dis[u] + w) {dis[v] = dis[u] + w;pq.add(new int[]{dis[v], v});}}}
}

Python：

def dijkstra(st: int, n: int, graph: dict):dis = [inf for _ in range(n)]vst = [False for _ in range(n)]dis[st] = 0h = []heapq.heappush(h, [0, st])while h:d,u = heapq.heappop(h)if vst[u]: continuevst[u] = Truefor v,w in graph[u]:if dis[v] > dis[u] + w:dis[v] = dis[u] + wheapq.heappush(h, [dis[v], v])

8. 弗洛伊德

适用场景

多源最短路，可以在O(n^3)的时间内求出任意两个点的最短距离。
C++：

vector<vector<int>> dp;
for (int i = 0 ; i < n ; i++) {for (int j = 0 ; j < n ; j++) {dp[i][j] = graph[i][j];}
}for (int k = 0 ; k < n ; k++) {for (int i = 0 ; i < n ; i++) {for (int j = 0 ; j < n ; j++) {dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]);}}
}

Java：

int[][] dp = new int[n][n];
for (int i = 0 ; i < n ; i++) {for (int j = 0 ; j < n ; j++) {dp[i][j] = graph[i][j];}
}for (int k = 0 ; k < n ; k++) {for (int i = 0 ; i < n ; i++) {for (int j = 0 ; j < n ; j++) {dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]);}}
}

Python：

dp = [[graph[i][j] for i in range(n)] for j in range(n)]for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):dp[i][j]  = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])

9. 强连通分量

可以用tarjan算法找到图中强连通分量的大小\每个节点属于哪个强连通分析.
ps:
强连通分量 (SCC)
在有向图中，一个强连通分量是最大的子图，其中任何两个顶点 u 和 v 都是相互可达的，即存在从 u 到 v 的路径，也存在从 v 到 u 的路径。
Python：

def tarjan(n, adj):dfn = [0] * n  # 访问节点时的时间戳low = [0] * n  # 节点可达的最低时间戳in_stack = [False] * n  # 布尔数组，用于检查节点是否在栈中stack = []  # 用于存储节点的栈dfncnt = 1  # 用于给访问的节点分配唯一编号的计数器scc = [0] * n  # 存储每个节点所属的强连通分量(SCC)编号的数组sc = 0  # 找到的SCC数量的计数器sz = [0] * n  # 每个SCC的大小def dfs(u):nonlocal dfncnt, scdfn[u] = low[u] = dfncnt  # 给节点分配时间戳dfncnt += 1stack.append(u)  # 将当前节点加入栈in_stack[u] = True  # 标记节点为在栈中for v in adj[u]:  # 遍历每个相邻节点if dfn[v] == 0:  # 如果节点未被访问dfs(v)low[u] = min(low[u], low[v])  # 更新当前节点的最低可达时间戳elif in_stack[v]:  # 如果相邻节点在栈中low[u] = min(low[u], dfn[v])  # 更新当前节点的最低可达时间戳，仅包括在栈中的节点# 如果当前节点是SCC的根节点if dfn[u] == low[u]:sc += 1while True:v = stack.pop()  # 弹出节点in_stack[v] = False  # 标记节点不在栈中scc[v] = sc  # 分配SCC编号sz[sc - 1] += 1  # 增加SCC大小if v == u:  # 如果回到根节点，结束循环break# 从每个未访问的节点运行DFSfor i in range(n):if dfn[i] == 0:dfs(i)return scc, sz  # 返回SCC编号和每个SCC的大小

十、区间相关

1. 前缀和

适用场景

多次求区间和。O(n)的时间预处理出前缀和数组后，可以O(1)求出区间的和。不支持区间修改。
C++：

vector<int> nums;
int n;vector<int> pre_sum(n + 1, 0);for (int i = 1 ; i <= n ; i++ ) pre_sum[i] = pre_sum[i-1] +nums[i-1];//查询区间和[left, right], 其中left，right是下标。
int sum = pre_sum[right+1] - pre_sum[lef	t];

Java：

int[] nums;
int n;int[] pres = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {pre_sum[i] = pre_sum[i-1] +nums[i-1];
}//查询区间和[left, right], 其中left，right是下标。
int sum = pre_sum[right+1] - pre_sum[left];

Python：

#python语法糖可以求前缀和
pres = list(accumulate(a,initial=0))

2. 二维前缀和

C++：

vector<vector<int>> matrix;
int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
vector<vector<int>> pre(m + 1, vector<int>(n + 1));
for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {pre[i][j] = pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];}
}# 查询子矩阵的和 [x1,y1] [x2,y2]表示子矩阵的左上和右下两个顶点
int sum = pre[x2 + 1][y2 + 1] - pre[x1][y2 + 1] - pre[x2 + 1][y1] + pre[x1][y1];

Java：

int[][] matrix;
int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
int[][] pre = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {pre[i][j] = pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];}
}# 查询子矩阵的和 [x1,y1] [x2,y2]表示子矩阵的左上和右下两个顶点
int sum = pre[x2 + 1][y2 + 1] - pre[x1][y2 + 1] - pre[x2 + 1][y1] + pre[x1][y1];

Python：

matrix # 原二维矩阵
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
pre = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):pre[i][j] = pre[i - 1][j] + pre[i][j - 1] - pre[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1]# 查询子矩阵的和 [x1,y1] [x2,y2]表示子矩阵的左上和右下两个顶点
sum_ = pre[x2 + 1][y2 + 1] - pre[x1][y2 + 1] - pre[x2 + 1][y1] + pre[x1][y1];

3. 差分

适用场景

给定一个数组和多次区间修改的操作，求修改后的数组。
C++：

int diff[10001];void update(int l, int r, int val) {diff[l] += v;if (r+1 <n) diff[r+1] -= v;
}int main() {int nums[] = {1,3,2,4,5};int n = sizeof(nums) / sizeof(int);diff[0] = nums[0];for(int i = 1; i < n; i++) diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];//多次调用update后，对diff数组求前缀和可以得出 多次修改后的数组int* res = new int[n]; //修改后的数组res[0] = diff[0];for (int i=1 ; i<=n ; i++) res[i] += res[i-1] + diff[i];
}

Java：

int[] nums = {1,3,2,4,5};
int n = nums.length;int[] diff = new int[n];
diff[0] = nums[0];
for (int i=0; i<n;i++) diff[i] = nums[i] - nums[i-1];void update(int l, int r, int v) {diff[l] += v;if (r+1<n) diff[r+1] -=v;
}int[] res = new int[n];
res[0] = diff[0];
for(int i=1;i<n;i++)res[i]=res[i-1]+diff[i];

Python：

nums = [1,3,2,4,5]
n = len(nums)
diff = [1 for _ in range(n)]
for i in range(1, n):diff[i] = nums[i] - nums[i-1]#将区间[l,r]的元素都加上v
def update(l, r, v):diff[l] += vif r+1 < n:diff[r+1] -= v'''多次调用update后，对diff数组求前缀和可以得出 多次修改后的数组'''
res = [0 for _ in range(n)]
res[0] = diff[0]
for i in range(1,n):res[i] += res[i-1] + diff[i]

4. 二维差分

C++：

vector<vector<int>> matrix; //原数组int n, m ; //长宽vector<vector<int>> diff(n+1, vector<int>(m+1, 0));void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int d) {diff[x1][y1] += d;diff[x2+1][y1] -= d;diff[x1][y2+1] -= d;diff[x2+1][y2+1] += d;
}for (int i = 1 ; i <= n ; i++ ) {for (int j = 1 ; j <= m ; j++) {insert(i,j,i,j,matrix[i][j]);}
}int q; //修改次数
cin >> q;
while (q--) {int x1,y1,x2,y2,d;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> d;insert(x1,y1,x2,y2,d);
}for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {for (int j = 1 ; j <= m ; j++) {matrix[i][j] = matrix[i-1][j] + matrix[i][j-1] - matrix[i-1][j-1] + diff[i][j];}
}// matrix就是复原后的数组

Java：

int[][] matrix; //原数组
int n,m; // 原数组的行列
int[][] diff; //差分数组void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int d) {diff[x1][y1] += d;diff[x2+1][y1] -= d;diff[x1][y2+1] -= d;diff[x2+1][y2+1] += d;
}void solution() {diff = new int[n+1][m+1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {insert(i,j,i,j, matrix[i][j]);}}int q ; //修改次数while (q-- > 0) {int x1,y1,x2,y2,d; // 输入需要修改的子矩阵顶点insert(x1,y1,x2,y2,d);}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {matrix[i][j] = matrix[i-1][j] + matrix[i][j-1] - matrix[i-1][j-1] + diff[i][j];}}}

Python：

'''二维矩阵依然可以进行差分运算'''n, m = 0,0 #行和列
a = [[0 for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)] #原数组
diff = [[0 for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
def insert(x1, y1,x2,y2,d):diff[x1][y1] += ddiff[x2+1][y1] -= ddiff[x1][y2+1] -= ddiff[x2+1][y2+1] += d#差分数组初始化
for i in range(1, n+1):for j in range(1,m+1):insert(i,j,i,j,a[i][j])q = 0 #修改次数while q:q-=1x1,y1,x2,y2,d = 0,0,0,0,0 #对于矩阵的值增加dinsert(x1,y1,x2,y2,d)#还原数组
for i in range(1,n+1):for j in range(1,m+1):a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1] -a[i-1][j-1]+ diff[i][j]print(a)

5. 树状数组

适用场景

当我们进行 单点修改，然后进行区间 区间查询、单点查询的时候，适用树状数组可以在logn的复杂度求解。
C++：

vector<int> tree(MAXN, 0); int lowbit(int x) {return x&(-x);
}
// 单点修改，第i个元素增加x
inline void update(int i, int x)
{for (int pos = i; pos < MAXN; pos += lowbit(pos))tree[pos] += x;
}
// 查询前n项和
inline int query(int n)
{int ans = 0;for (int pos = n; pos; pos -= lowbit(pos))ans += tree[pos];return ans;
}// 查询区间[a,b]的和
inline int query(int a, int b)
{return query(b) - query(a - 1);
}

Java：

int[] tree; //长度为n，初始化为0int N;
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
// 单点修改，第i个元素增加x
void update(int i, int x) {for (int p = i ; p < N ; p+=lowbit(p)) tree[p] += x;
}
// 查询前n项和
int query(int n) {int ans = 0;for (int p = n ; p; p -= lowbit(p)) ans += tree[p];return ans;
}
// 查询区间[a,b]的和
int query(int a, int b) {return query(b) - query(a-1);
}

Python：

class BIT:def __init__(self, n):self.MXN = n+1self.tree = [0 for _ in range(self.MXN)]def lowbit(self,x):return x & (-x)# 下标为index的元素新增xdef update(self,index, x):i = index+1 #树状数组的下标从1开始while i < self.MXN:self.tree[i] += xi += self.lowbit(i)# 查询前n项总和def queryPre(self,n):ans = 0while n:ans += self.tree[n]n -= self.lowbit(n)return ans# 查询区间[a,b]的和def query(self,a, b):return self.queryPre(b+1) - self.queryPre(a)

6. 线段树

适用场景

当我们需要区间修改、区间查询、单点查询的时候，可以使用线段树，能够在logn的复杂度下求解。
C++：

#define MAXN 100005
typedef long long ll;
ll n, m, A[MAXN], tree[MAXN * 4], mark[MAXN * 4]; // A原数组、 tree线段树数组、mark懒标记数组
inline void push_down(ll p, ll len)
{mark[p * 2] += mark[p];mark[p * 2 + 1] += mark[p];tree[p * 2] += mark[p] * (len - len / 2);tree[p * 2 + 1] += mark[p] * (len / 2);mark[p] = 0;
}
// 建树
void build(ll l = 1, ll r = n, ll p = 1)
{if (l == r)tree[p] = A[l];else{ll mid = (l + r) / 2;build(l, mid, p * 2);build(mid + 1, r, p * 2 + 1);tree[p] = tree[p * 2] + tree[p * 2 + 1];}
}
void update(ll l, ll r, ll d, ll p = 1, ll cl = 1, ll cr = n)
{if (cl > r || cr < l)return;else if (cl >= l && cr <= r){tree[p] += (cr - cl + 1) * d;if (cr > cl)mark[p] += d;}else{ll mid = (cl + cr) / 2;push_down(p, cr - cl + 1);update(l, r, d, p * 2, cl, mid);update(l, r, d, p * 2 + 1, mid + 1, cr);tree[p] = tree[p * 2] + tree[p * 2 + 1];}
}
ll query(ll l, ll r, ll p = 1, ll cl = 1, ll cr = n)
{if (cl > r || cr < l)return 0;else if (cl >= l && cr <= r)return tree[p];else{ll mid = (cl + cr) / 2;push_down(p, cr - cl + 1);return query(l, r, p * 2, cl, mid) + query(l, r, p * 2 + 1, mid + 1, cr);}
}
/**
1.输入数组A，注意下标从[1,n]。
2.调用update(l,r,d)函数，这里的l和r并不是下标。
3.调用query(l,r) 这里的l和r并不是下标
*/

Java：

int MXN = 10005 ;
int n;
int[] A,tree,mark;// 初始化
void init(int n) {this.n = n;A = new int[MXN];tree = new int[MXN *4];mark = new int[MXN *4];
}
void push_down(int p, int len) {mark[p * 2] += mark[p];mark[p * 2 + 1] += mark[p];tree[p * 2] += mark[p] * (len - len / 2);tree[p * 2 + 1] += mark[p] * (len / 2);mark[p] = 0;
}
//构建线段树
void build() {build(1,n,1);
}
void build(int l, int r, int p) {if (l==r) tree[p] = A[l];else {int mid = (l+r) / 2;build(l,mid, p*2);build(mid+1,r,p*2+1);tree[p] = tree[p*2] + tree[p*2+1];}
}
// 区间[l,r]的值新增d
void update(int l, int r, int d) {update(l,r,d, 1,1,n);
}
void update(int l, int r, int d, int p, int cl, int cr) {if (cl > r || cr < l) return;else if (cl >= l && cr <= r) {tree[p] += (cr - cl + 1) * d;if (cr > cl) mark[p] += d;}else {int mid = (cl+cr) / 2;push_down(p, cr-cl+1);update(l,r,d,p*2,cl,mid);update(l,r,d,p*2+1,mid+1,cr);tree[p] = tree[p*2] + tree[p*2 + 1];}
}// 查询区间[l,r]的和
int query(int l, int r) {return query(l, r,1,1,n);
}
int query(int l, int r, int p, int cl, int cr) {if (cl > r || cr < l) return 0;else if (cl >= l && cr <= r) return tree[p];else {int mid = (cl + cr) / 2;push_down(p, cr-cl+1);return query(l,r,p*2,cl,mid) + query(l,r,p*2+1,mid+1,cr);}
}void solution() {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();init(n);for (int i = 1; i <= n; i++) {A[i] = sc.nextInt(); // 输入元素}build();update(1,2,2); // 更新区间[0,1]，新增2， 这里并不是下标！！！System.out.println(query(1,5)); // 查询区间[l,r]的总和，这里并不是下标！！！}

Python：

MXN = int(1e5 + 5)
n = int(input())#数组长度
A = [0] + [int(c) for c in input().split(" ")]
tree = [0 for _ in range(MXN * 4)]
mark = [0 for _ in range(MXN * 4)]def push_down(p, len):mark[p * 2] += mark[p]mark[p * 2 + 1] += mark[p]tree[p * 2] += mark[p] * (len - len // 2)tree[p * 2 + 1] += mark[p] * (len // 2)mark[p] = 0def build(l=1, r=n,p=1):if l==r: tree[p] = A[l]else:mid = (l+r) // 2build(l,mid,p*2)build(mid+1,r,p*2+1)tree[p] = tree[p*2] + tree[p*2 + 1]def update(l,r,d,p=1,cl=1,cr=n):if cl > r or cr < l: returnelif cl >= l and cr <= r:tree[p] += (cr - cl + 1) * dif cr > cl: mark[p] += delse:mid = (cl + cr) // 2push_down(p, cr-cl+1)update(l,r,d,p*2,cl,mid)update(l,r,d,p*2+1,mid+1,cr)tree[p] = tree[p*2] + tree[p*2+1]def query(l,r,p=1,cl=1,cr=n):if cl > r or cr < l: return 0elif cl >= l and cr <= r: return tree[p]else:mid = (cl + cr) // 2push_down(p, cr-cl+1)return query(l,r,p*2,cl,mid) + query(l,r,p*2+1,mid+1,cr)'''
1.输入数组A，注意下标从[1,n]。
2.调用update(l,r,d)函数，这里的l和r并不是下标。
3.调用query(l,r) 这里的l和r并不是下标
'''

十一、杂项

1. 求质数/素数

适用场景

筛法求质数，时间复杂度约为O(n)。
C++：

int cnt;
vector<int> primes;
bool st[N];
void get_primes(int n) {for (int i = 2 ; i <= n ; i++) {if (!st[i]) {primes.push_back(i);for (int j = i + i ; j <= n ; j += i) st[j] = true;}}
}

Java：

int cnt;
List<Integer> primes;
boolean[] st = new boolean[N];
void get_primes(int n) {for (int i = 2 ; i <= n ; i++) {if (!st[i]) {primes.add(i);for (int j = i+i ; j <= n ; j+=i) st[j] = true;}}
}

Python：

maxCNt
primes = [] #存储了组后的素数
st = [False for _ in range(maxCNt)]
index = 0
for i in range(2, maxCNt):if not st[i]:primes.append(i)for j in range(i+i, maxCNt, i): st[j] = True

2. 求约数

适用场景

根号N的时间复杂度下求出一个数字的所有约数。
C++：

vector<int> get_divisors(int n) {vector<int> res;for (int i = 1; i <= n / i ; i++) {if (n % i == 0) {res.push_back(i);if (i != n / i) res.push_back(n / i);}}sort(res.begin(), res.end());return res;
}

Java：

List<Integer> get_divisors(int n) {List<Integer> res = new LinkedList();for (int i = 1 ; i <= n /i ; i++) {if (n%i == 0) {res.add(i);if (i!=n/i) res.add(n/i);}}Collections.sort(res);return res;
}

Python：

def get_divisors(n: int):res = []i = 1while i <= n//i:if n%i==0:res.append(i)if i!=n//i: res.append(n//i)i+=1res.sort()return res

3. 快速幂

适用场景

快速的求出x的y次方。时间复杂度O(logn)
C++：

long long fast_pow(int x, int y, int mod) {long long res = 1;while (y > 0) {if (y % 2 == 1) {res = (long long)res * x % mod;}x = (long long)x * x % mod;y /= 2;}return res;
}

Java：

long fastPow(int x, int y, int mod) {long res = 1;while (y > 0) {if (y % 2 == 1) {res = ((long)res * x % mod);}x = ((long)x * x % mod);y /= 2;}return res;
}

Python：

def fast_pow(x, y, mod):res = 1while y > 0:if y % 2 == 1:res = (res * x) % modx = (x * x) % mody //= 2return res

4. 离散化

适用场景

当数据值比较大的时候，可以映射成更小的值。例如[101,99,200] 可以映射成[1,0,2]。
C++：

int A[MAXN], C[MAXN], L[MAXN]; //原数组为A
memcpy(C, A, sizeof(A)); // 复制原数组到C中
sort(C, C + n); // 数组排序
int l = unique(C, C + n) - C; // 去重
for (int i = 0; i < n; ++i)L[i] = lower_bound(C, C + l, A[i]) - C + 1; // 二分查找

Java：

int[] A = new int[MAXN];
int[] C = new int[MAXN];
int[] L = new int[MAXN];System.arraycopy(A, 0, C, 0, A.length); // 复制原数组到C中
Arrays.sort(C); // 数组排序
int l = Arrays.stream(C).distinct().toArray().length; // 去重
for (int i = 0; i < n; ++i)L[i] = Arrays.binarySearch(C, 0, l, A[i]) + 1; // 二分查找

Python：

a = [] #原数组
as = sorted(list(set(a)))
LS = [bisect.bisect_left(as,a[i]) for i in range(n)]
#其中,LS[i]表示的就是a[i]对应的离散后的下标。

5. 优先队列

C++：

priority_queue<int, vector<int>, [](int a, int b) {return a>b;}; // 队列存储int类型比较
priority_queue<int, vector<vector<int>>, [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {return a[1]>b[1];}; // 队列存储vector类型，按照第二个元素进行排序

Java：

PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<Integer>((a,b)->a-b);// 队列存储int类型比较
PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<int[]>((a,b)->a[1]-b[1]); // 队列存储vector类型，按照第二个元素进行排序

Python：

h = []
heapq.heappush(h, x) #插入元素
heapq.heappop(h) #弹出最小元素

6. 同余取模

你需要将最终答案表示成一个分数 a/b，其中a和b是互质的整数，但是题目要求你不是直接输出这个分数， 而是一个整数x，满足：

Python：

MOD = 10**9 + 7
# 使用费马小定理快速计算逆元（只适用于m是质数的情况）
def fast_inv(a, m=MOD):return pow(a, m-2, m)# 计算a/b mod MOD的值
def compute(a, b):# 计算b的逆元b_inv = fast_inv(b)# 计算并返回结果return (a * b_inv) % MOD# 示例
a = 2
b = 3
result = compute(a, b)
print(f"The result is: {result}")