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大数定理（LLN）习题集 · 答案与解析篇

与题目篇一一对应。若有多种解法仅给出主流答案，读者可自行扩展。

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1. 概念与判断题

1.1 基本表述

弱大数定理 (WLLN, Kolmogorov 形式)
若 (X_1,X_2,\dots) i.i.d.，(E[X_1]=\mu) 且 (\operatorname{Var}(X_1)<\infty)，则
[
\overline{X}n:=\frac1n\sum{k=1}^{n}X_k \xrightarrow{P} \mu.
]

1.2 弱 vs 强

比较	弱 LLN	强 LLN
极限方式	收敛概率 (in probability)	几乎处处收敛 (a.s.)
常见条件	i.i.d. 且二阶矩有限	i.i.d. 且一阶矩有限（Kolmogorov 1933）
推出关系	SLLN ⇒ WLLN	反之不成立

1.3 是否满足 LLN

a) 满足强、弱大数（独立同分布，(E[X]=0))；