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一、基本操作

1.构造堆

2.访问堆顶元素（返回堆顶元素）

3.删除堆顶元素（返回堆顶元素）

4.插入新元素，时间复杂度为 O (log n)

5.  插入并删除元素（高效操作）

6. 高级操作- 合并多个有序序列

 7.高级操作-获取最大 / 最小的 K 个元素

8.高级操作-实现最大堆 

 9.自定义对象的堆

 10.时间复杂度

二、实例

1.优先队列

2. Top-K 问题

 3. 合并有序序列

4. 动态维护中位数

5. 区间调度问题

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一、基本操作

1.构造堆

import heapq
# 方法1
heap = []
heapq.heappush(heap, 3)
heapq.heappush(heap, 1)
heapq.heappush(heap, 2)
print(heap)  # 输出: [1, 3, 2]（最小堆的内部结构）# 方法2
arr = [3, 1, 2]
heapq.heapify(arr)
print(arr)  # 输出: [1, 3, 2]

2.访问堆顶元素（返回堆顶元素）

arr[0]

3.删除堆顶元素（返回堆顶元素）

heapq.heappop(arr)

4.插入新元素，时间复杂度为 O (log n)

heapq.heappush(arr, 5)

5.  插入并删除元素（高效操作）

使用 heappushpop() 或 heapreplace()：

• heappushpop(heap, item)：先插入 item，再删除并返回堆顶元素。
• heapreplace(heap, item)：先删除并返回堆顶元素，再插入 item。

arr = [2, 3, 5]
print(heapq.heappushpop(arr, 0))  # 输出: 0（插入0后弹出最小值0）
print(arr)                         # 输出: [2, 3, 5]print(heapq.heapreplace(arr, 1))   # 输出: 2（弹出原堆顶2，插入1）
print(arr)                         # 输出: [1, 3, 5]

6. 高级操作- 合并多个有序序列

a = [1, 4, 7]
b = [2, 5, 8]
merged = heapq.merge(a, b)
print(list(merged))  # 输出: [1, 2, 4, 5, 7, 8]

 7.高级操作-获取最大 / 最小的 K 个元素

• nlargest(k, iterable, key=None)：返回可迭代对象中最大的 K 个元素。
• nsmallest(k, iterable, key=None)：返回可迭代对象中最小的 K 个元素。

arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5]
print(heapq.nlargest(3, arr))     # 输出: [9, 6, 5]
print(heapq.nsmallest(3, arr))    # 输出: [1, 1, 2]# 结合 key 参数（例如对字典按值排序）
students = [{'name': 'Alice', 'score': 85},{'name': 'Bob', 'score': 92},{'name': 'Charlie', 'score': 78}
]
print(heapq.nlargest(2, students, key=lambda x: x['score']))
# 输出: [{'name': 'Bob', 'score': 92}, {'name': 'Alice', 'score': 85}]

8.高级操作-实现最大堆 

heapq 默认为最小堆。若需最大堆，可将元素取负后存储，取出时再取负还原。

arr = [3, 1, 4]
max_heap = [-x for x in arr]
heapq.heapify(max_heap)# 获取最大值
max_val = -heapq.heappop(max_heap)
print(max_val)  # 输出: 4

 9.自定义对象的堆

通过实现 __lt__ 方法定义对象的比较规则

class Item:def __init__(self, value, priority):self.value = valueself.priority = prioritydef __lt__(self, other):# 定义优先级比较规则（优先级高的元素更小）return self.priority < other.priorityheap = []
heapq.heappush(heap, Item("task1", 3))
heapq.heappush(heap, Item("task2", 1))
heapq.heappush(heap, Item("task3", 2))# 按优先级出队
print(heapq.heappop(heap).value)  # 输出: "task2"（优先级1最高）

 10.时间复杂度

操作	代码示例	时间复杂度
插入元素	heapq.heappush(heap, item)	O(log n)
删除堆顶元素	heapq.heappop(heap)	O(log n)
获取堆顶元素	heap[0]	O(1)
列表转换为堆	heapq.heapify(arr)	O(n)
获取最大 / 最小 K 元素	heapq.nlargest(k, arr)	O(n log k)

二、实例

1.优先队列

典型问题：

• Dijkstra 算法（单源最短路径）
• 哈夫曼编码（最优前缀编码）
• 任务调度（按优先级执行任务）

示例：Dijkstra 算法

import heapqdef dijkstra(graph, start):n = len(graph)dist = [float('inf')] * ndist[start] = 0heap = [(0, start)]  # (距离, 节点)while heap:d, u = heapq.heappop(heap)if d > dist[u]:continuefor v, w in graph[u]:if dist[v] > d + w:dist[v] = d + wheapq.heappush(heap, (dist[v], v))return dist# 示例图的邻接表表示
graph = [[(1, 4), (2, 1)],  # 节点0的邻接节点及边权[(3, 2)],          # 节点1的邻接节点及边权[(1, 2), (3, 5)],  # 节点2的邻接节点及边权[]                 # 节点3的邻接节点及边权
]print(dijkstra(graph, 0))  # 输出: [0, 3, 1, 5]

2. Top-K 问题

求数组中最大 / 最小的 K 个元素，时间复杂度为 O (N log K)。

示例：最小的 K 个数

import heapqdef smallest_k(arr, k):if k == 0:return []heap = []for num in arr:# 维护一个大小为K的最大堆（用负数模拟）if len(heap) < k:heapq.heappush(heap, -num)else:if -num > heap[0]:  # 当前数比堆顶的数更小heapq.heappop(heap)heapq.heappush(heap, -num)return [-x for x in heap]arr = [3, 2, 1, 5, 6, 4]
print(smallest_k(arr, 2))  # 输出: [1, 2]

 3. 合并有序序列

高效合并多个有序数组 / 链表，时间复杂度为 O (N log M)（M 为序列数）。

示例：合并 K 个有序链表

import heapq
from typing import List, Optionalclass ListNode:def __init__(self, val=0, next=None):self.val = valself.next = nextdef merge_k_lists(lists: List[Optional[ListNode]]) -> Optional[ListNode]:dummy = ListNode(0)curr = dummyheap = []# 初始化堆：将每个链表的头节点加入堆for i, node in enumerate(lists):if node:heapq.heappush(heap, (node.val, i, node))while heap:val, idx, node = heapq.heappop(heap)curr.next = nodecurr = curr.nextif node.next:heapq.heappush(heap, (node.next.val, idx, node.next))return dummy.next

4. 动态维护中位数

使用两个堆（最大堆 + 最小堆）动态维护数据流的中位数。

示例：数据流的中位数

import heapqclass MedianFinder:def __init__(self):self.max_heap = []  # 存储较小的一半数（取负）self.min_heap = []  # 存储较大的一半数def addNum(self, num: int) -> None:if not self.max_heap or num <= -self.max_heap[0]:heapq.heappush(self.max_heap, -num)else:heapq.heappush(self.min_heap, num)# 平衡两个堆的大小if len(self.max_heap) > len(self.min_heap) + 1:heapq.heappush(self.min_heap, -heapq.heappop(self.max_heap))elif len(self.min_heap) > len(self.max_heap):heapq.heappush(self.max_heap, -heapq.heappop(self.min_heap))def findMedian(self) -> float:if len(self.max_heap) == len(self.min_heap):return (-self.max_heap[0] + self.min_heap[0]) / 2else:return -self.max_heap[0]# 示例用法
median_finder = MedianFinder()
median_finder.addNum(1)
median_finder.addNum(2)
print(median_finder.findMedian())  # 输出: 1.5

 

5. 区间调度问题

例如会议室预订、活动安排等，需高效判断区间重叠。

示例：会议室预订

import heapqdef min_meeting_rooms(intervals):if not intervals:return 0# 按开始时间排序intervals.sort(key=lambda x: x[0])heap = []  # 存储会议室的结束时间for start, end in intervals:if heap and start >= heap[0]:# 最早结束的会议室可用，更新该会议室的结束时间heapq.heappop(heap)# 分配新会议室或更新已分配会议室的结束时间heapq.heappush(heap, end)return len(heap)intervals = [[0, 30], [5, 10], [15, 20]]
print(min_meeting_rooms(intervals))  # 输出: 2