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深入解析Z变换：从数学基础到工程应用

摘要

Z变换是离散时间信号系统分析的核心数学工具，通过将时域序列映射到复平面（Z域），为数字滤波器设计、系统稳定性分析和频谱计算提供了理论基础。本文从数学定义出发，结合物理意义与工程案例，系统剖析Z变换在数字信号处理中的核心作用，并提供完整的Python可视化实现。

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一、Z变换的数学定义

1. 基本表达式

离散时间信号 $x[n]$ 的双边Z变换定义为：
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot z^{-n}$$
其中：

• $z$ 为复变量：$z=r{e}^{j\omega }$，$r$ 表示幅度衰减/增长因子，$\omega$ 为数字角频率
• $n$ 为离散时间索引：序列在时间轴上的位置

单边Z变换（适用于因果系统）定义为：
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\cdot z^{-n}$$

2. 收敛域（Region of Convergence, ROC）

Z变换的收敛性由收敛域决定。ROC是复平面上使级数绝对可和的 $z$ 值集合：
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]\cdot r^{-n}|<\infty$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle, Wedgedef plot_roc():fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))# 单位圆unit_circle = Circle((0, 0), 1, fill=False, color='blue', linestyle='--', alpha=0.7)ax.add_patch(unit_circle)# 右边序列ROC (|z| > 0.5)wedge_out = Wedge((0,0), 1.5, 0, 360, width=0.5, color='red', alpha=0.3)ax.add_patch(wedge_out)ax.text(1.2, 0.1, '|z|>0.5\n(右边序列)', fontsize=10)# 左边序列ROC (|z| < 0.8)wedge_in = Wedge((0,0), 0.8, 0, 360, width=0.8, color='green', alpha=0.3)ax.add_patch(wedge_in)ax.text(0.1, 0.6, '|z|<0.8\n(左边序列)', fontsize=10)# 双边序列ROC (0.4 < |z| < 0.9)ring = Wedge((0,0), 0.9, 0, 360, width=0.5, color='purple', alpha=0.3)ax.add_patch(ring)ax.text(0.3, 0.1, '0.4<|z|<0.9\n(双边序列)', fontsize=10)# 设置坐标轴ax.axhline(0, color='black', alpha=0.3)ax.axvline(0, color='black', alpha=0.3)ax.set_xlim(-1.6, 1.6)ax.set_ylim(-1.6, 1.6)ax.set_aspect('equal')ax.set_title('Z变换收敛域(ROC)类型', fontsize=14)ax.set_xlabel('实部(Re)', fontsize=12)ax.set_ylabel('虚部(Im)', fontsize=12)ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)plt.tight_layout()plt.show()# 执行绘图
plot_roc()

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二、数学意义：为什么需要Z变换？

1. 对DTFT的推广

离散时间傅里叶变换（DTFT）可视为Z变换在单位圆上的特例：
$$X(e^{j\omega })=X(z){|}_{z=e^{j\omega }}$$
DTFT要求信号绝对可和，而Z变换通过引入衰减因子 $r^{-n}$ 放宽了收敛条件。

2. 与拉普拉斯变换的关系

对连续信号采样后（采样周 $T$），其拉普拉斯变换为超越函数：
$$X(s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-snT}$$
通过变量代换 $z=e^{sT}$，得到Z变换：
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$$
这一变换将超越函数转化为有理分式，极大简化了计算。

3. 微分方程的代数化

Z变换将差分方程（离散系统的描述工具）转化为代数方程：
$$\begin{array}{rl}\text{时域差分方程：}& a_{0}y[n]+a_{1}y[n-1]=b_{0}x[n]\\ \to \text{Z域代数方程：}& (a_0+a_1{z}^{-1})Y(z)=b_{0}X(z)\end{array}$$
这一特性类比于拉普拉斯变换对微分方程的简化作用。

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三、物理意义：复平面中的信号与系统

1. 复平面（Z平面）的几何解释

• 单位圆（$|z|=1$）：对应稳态频率响应
• 圆内区域（$|z|<1$）：信号分量衰减
• 圆外区域（$|z|>1$）：信号分量增长

2. 零极点分析

Z变换常表示为有理：
$$X(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^M{b}_k{z}^{-k}}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}}=K\frac{{\prod }_{i=1}^M(1-c_i{z}^{-1})}{{\prod }_{j=1}^N(1-d_j{z}^{-1})}$$

• 零点 $z=c_i$：使分子为零的点，抑制对应频率
• 极点 $z=d_j$：使分母为零的点，放大对应频率
  

def plot_pole_zero():# 系统函数: H(z) = (z-0.8)(z+0.5)/[(z-0.6+0.4j)(z-0.6-0.4j)(z+0.7)]zeros = [0.8, -0.5]poles = [complex(0.6, 0.4), complex(0.6, -0.4), -0.7]fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))# 单位圆unit_circle = Circle((0, 0), 1, fill=False, color='blue', linestyle='--', alpha=0.5)ax.add_patch(unit_circle)# 绘制零点ax.scatter(np.real(zeros), np.imag(zeros), s=100, marker='o', facecolors='none', edgecolors='r', label='零点')# 绘制极点ax.scatter(np.real(poles), np.imag(poles), s=100, marker='x', color='b', label='极点')# 设置坐标轴ax.axhline(0, color='black', alpha=0.3)ax.axvline(0, color='black', alpha=0.3)ax.set_xlim(-1.2, 1.2)ax.set_ylim(-1.2, 1.2)ax.set_aspect('equal')ax.set_title('系统零极点分布图', fontsize=14)ax.set_xlabel('实部(Re)', fontsize=12)ax.set_ylabel('虚部(Im)', fontsize=12)ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)ax.legend(loc='best')# 添加稳定性分析for pole in poles:mag = np.abs(pole)color = 'green' if mag < 1 else 'red'ax.text(np.real(pole)+0.05, np.imag(pole), f'|p|={mag:.2f}', color=color, fontsize=10)plt.tight_layout()plt.show()# 执行绘图
plot_pole_zero()

3. 系统稳定性判据

系统稳定的充要条件：所有极点位于单位圆内（$|d_j|<1$）

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四、工程应用：数字信号处理案例

案例1：数字滤波器设计

设计一Butterworth低通滤波器：

1. 确定指标：通带截止频率 ${\omega }_p=0.2\pi$，阻带截止 ${\omega }_s=0.4\pi$
2. 通过双线性变换将模拟滤波器转为数字：
   $$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$
3. 得到Z域传递函数：
   $$H(z)=\frac{0.067+0.134z^{-1}+0.067z^{-2}}{1-1.142z^{-1}+0.412z^{-2}}$$

from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as pltdef plot_filter_response():# 定义滤波器系数b = [0.067, 0.134, 0.067]  # 分子系数a = [1, -1.142, 0.412]     # 分母系数# 创建频率响应图plt.figure(figsize=(12, 8))# 幅频响应plt.subplot(2, 1, 1)w, h = signal.freqz(b, a)plt.plot(w/np.pi, 20 * np.log10(np.abs(h)), 'b')plt.axvline(0.2, color='r', linestyle='--')  # 通带截止plt.axvline(0.4, color='g', linestyle='--')  # 阻带截止plt.title('Butterworth低通滤波器幅频响应')plt.ylabel('幅度 (dB)')plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)')plt.grid(True)plt.ylim([-50, 5])# 相频响应plt.subplot(2, 1, 2)angles = np.unwrap(np.angle(h))plt.plot(w/np.pi, angles, 'g')plt.title('相频响应')plt.ylabel('角度 (弧度)')plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)')plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.show()# 执行绘图
plot_filter_response()

案例2：系统稳定性分析

已知系统函数：
$$H(z)=\frac{1}{1-1.2z^{-1}+0.35z^{-2}}$$

1. 求极点：解方程 $z^2-1.2z+0.35=0$ → 极点 $z=0.6\pm j0.2$
2. 计算模：$|z|=\sqrt{0.6^2+0.2^2}\approx 0.632<1$
3. 结论：所有极点在单位圆内 → 系统稳定

案例3：卷积计算的简化

时域卷积 $y[n]=x[n]\ast h[n]$ 在Z域变为乘积：
Z { x [ n ] ∗ h [ n ] } = X ( z ) ⋅ H ( z ) \mathcal{Z}\{x[n] * h[n]\} = X(z) \cdot H(z) Z{x[n]∗h[n]}=X(z)⋅H(z)
工程价值：

• 复杂度从 $O(N^2)$ 降至 $O(N\log N)$（结合FFT实现）
• 硬件实现时减少乘法器数量

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五、Z变换的核心性质

性质	时域	Z域	条件
线性	$a{x}_1[n]+b{x}_2[n]$	$a{X}_1(z)+b{X}_2(z)$	ROC取交集
时移	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$	ROC可能增删 $0/\infty$
卷积	$x[n]\ast h[n]$	$X(z)H(z)$	ROC至少重叠
频移	$e^{j{\omega }_{0}n}x[n]$	$X(e^{-j{\omega }_0}z)$	ROC不变
初值定理	$x$	${\lim }_{z\to \infty }X(z)$	仅因果序列

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结语：Z变换的工程哲学

Z变换的本质是在复平面中重建离散信号的动力学特征。它将时间域的差分方程转化为复平面中的几何问题（零极点分布），将卷积运算转化为乘法操作，为实时数字信号处理奠定了数学基础。在5G通信、音频编码、医学成像等领域，Z换持续发挥着不可替代的作用——理解它，便是掌握了数字世界的一把钥匙。

所有Python绘图代码均可直接复制运行，需安装以下库：

pip install numpy matplotlib scipy

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