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一、欧拉函数

1.1定义

1~n中与n互质的数的个数被称为欧拉函数（记作 phi[n]），例如1 ~ 6中与6互质的数有1，5，所以phi[6]=2。规定phi[1]=1。

1.2性质

1. 设$m=m_1{m}_2$，若$m_1$与m的所有素因数都相同，则phi[m]=$m_2$×phi[$m_1$]
2. 设$m=m_1{m}_2$，若$m_1$与$m_2$互质，则phi[m]=phi[$m_1$]×phi[$m_2$]
3. 若m为素数，则phi[m]=m-1

1.3唯一分解定理（算术基本定理）

设整数a≥2，则a一定可以表示为素数的乘积，即$a=p_1{p}_2...p_s$，$p_s$是素数。

二、Eratosthenes筛法寻找素数

Eratosthenes筛法寻找素数的原理及步骤为：

1. 根据唯一分解定理可推论出：对于整数n，一定有素因数p<$\sqrt{n}$；
2. 首先筛选出1~$\sqrt{N}$范围内的素数，这些素数的整数倍一定是合数，除去这些合数外，剩下的就是1-N范围内的素数。

Eratosthenes筛法算法复杂度为O(NloglogN)，代码如下：

unsigned eratosthenes(unsigned upL)
{unsigned isprime[upL + 1] = {0};unsigned m = sqrt(upL + 0.5);for(unsigned i = 2 ; i <= m; i++){if(!isprime[i]){for(unsigned j = i * i; j <= upL; j+=i){isprime[j] = 1;}}}return 0;
}

三、欧拉筛法寻找素数

3.1算法代码

欧拉筛法寻找素数算法复杂度为O(N)，相较于Eratosthenes筛法时间复杂度大幅度降低，但是也更难理解，先给出代码如下：

unsigned euler(unsigned upL)
{unsigned n = 0;unsigned prime[upL + 1] = {0}, isprime[upL + 1] = {0};for(unsigned i = 2 ; i <= upL; i++){if(!isprime[i]) prime[++n] = i;for(unsigned j = 1; j <= n && i * prime[j] <= upL; j++){isprime[prime[j] * i] = 1;if(i % prime[j] == 0) break;}}return 0;
}

3.2算法分析

3.2.1时间复杂度分析（对合数进行不重复筛选）

欧拉筛法求解思路与Eratosthenes筛法类似，都为先筛选出素数与合数，然后根据欧拉函数性质求和。

代码中筛选素数与合数的部分使用双重循环，但不会对合数进行重复筛选，此处关键代码为if(i % prime[j] == 0) break;，分析如下：

1. 如果i除以prime[j]等于0，则说明i的其中一个素因数为prime[j]，设i=prime[j] * a；
2. 而此时若不跳出对j的循环继续执行，则j++，i * prime[j+1]=prime[j] * prime[j+1] * a，prime[j+1] * a大于i，在以后对i的循环中必会重复遇到此合数，所以在此时跳出循环，控制程序只对合数筛选一次；
3. 举例说明，当i=4时，4%2==0时，如不跳出内层循环，则下一次内循环会标记4 * 3=12为合数，而之后当i=6时，6*2=12又会被重复标记。

3.2.2算法正确性分析（对合数进行完全筛选）

对合数筛选的过程中是否会漏掉合数，分析如下：

1. 根据唯一分解定理，任一合数m必然可以表示为素因数乘积的形式，设其中最小的素因数为p，则m可以表示为m=p*q；
2. 而q一定≥p，否则m的最小素因数就不是p，当i循环到q时，素因数p一定被添加至prime数组中，m被标记为合数。

3.3与Eratosthenes法实际运行时间对比

经过多次测试，Eratosthenes法约为1ms，而欧拉法约为2ms，运行截图如下：

实际与理论相悖的原因可能是：欧拉法在筛选合数的同时需要操作一个额外的存储素数数组，造成了一定的运行时间浪费。

四、欧拉筛法计算欧拉函数求和

4.1欧拉函数求和代码

欧拉筛法计算欧拉函数与欧拉筛法寻找素数算法一脉相承，主要是利用前文介绍的欧拉函数的性质，在寻找素数的同时计算欧拉函数，在掌握了欧拉筛法寻找素数算法后，会对本小节算法一目了然，代码如下：

unsigned euler_sum(unsigned upL)
{unsigned n = 0;unsigned phi[upL + 1] = {0}, prime[upL + 1] = {0}, isprime[upL + 1] = {0};phi[1] = 1;unsigned res = 0;for(unsigned i = 2 ; i <= upL; i++){if(!isprime[i]) prime[++n] = i, phi[i] = i - 1;for(unsigned j = 1; j <= n && i * prime[j] <= upL; j++){isprime[prime[j] * i] = 1;if(i % prime[j] == 0){phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}else{phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}//cout<<i<<','<<phi[upL]<<endl;}//cout<<phi[upL]<<endl;for(unsigned i = 1 ; i <= upL; i ++) res += phi[i];return res;
}

欧拉筛法求解欧拉函数求和，算法复杂度同样为O(N)。

4.2代码改进

4.1节给出的代码中在栈空间上定义了phi, prime, isprime三个数组，当输入的数较大时，可能会由于栈内存溢出而无法正确运行，有两种方法进行改进，第一种是使用vector类型数组，第二种是改进代码，将prime, isprime两个数组合并为一个数组，下面分别进行介绍。

4.2.1使用vector类型数组

vector是C++标准库中的容器，在堆上分配内存，并且自动管理内存的分配和释放，确保不会发生内存泄漏，代码如下：

unsigned euler_sum(unsigned upL)
{unsigned n = 0;vector<unsigned> phi(upL + 1), prime(upL + 1), isprime(upL + 1);phi[1] = 1;unsigned res = 0;for(unsigned i = 2 ; i <= upL; i++){if(!isprime[i]) prime[++n] = i, phi[i] = i - 1;for(unsigned j = 1; j <= n && i * prime[j] <= upL; j++){isprime[prime[j] * i] = 1;if(i % prime[j] == 0){phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}else{phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}//cout<<i<<','<<phi[upL]<<endl;}//cout<<phi[upL]<<endl;for(unsigned i = 1 ; i <= upL; i ++) res += phi[i];return res;

上述代码只在三个数组定义处进行更改，其余地方未变。

4.2.2优化数组使用

由于1~N范围内的素数个数一定小于N，那么可以将prime, isprime两个数组合并，代码如下：

unsigned euler_sum(unsigned upL)
{unsigned n = 0;unsigned phi[upL + 1] = {0}, prime[upL + 1] = {0};phi[1] = 1;unsigned res = 0;for(unsigned i = 2 ; i <= upL; i++){if(!prime[i]) prime[++n] = i, phi[i] = i - 1;for(unsigned j = 1; j <= n && i * prime[j] <= upL; j++){prime[prime[j] * i] = 1;if(i % prime[j] == 0){phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}else{phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}//cout<<i<<','<<phi[upL]<<endl;}//cout<<phi[upL]<<endl;for(unsigned i = 1 ; i <= upL; i ++) res += phi[i];return res;
}

此算法可以显著降低内存占用，降低空间复杂度。

参考文档

初等数论（潘承洞 潘承彪）
C++程序设计竞赛真题实战特训教程
算法竞赛入门经典（第2版） (刘汝佳)