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专栏:机器学习

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注：上一篇机器学习还差一小节，日后坑必会填上

一.正则化

• 什么是正则化 / 如何进行正则化

其实机器学习中正则化（regularization）的外在形式非常简单，就是在模型的损失函数中加上一个正则化项（regularizer），有时也被称为惩罚项（penalty term），如下方程所示，其中 L 为损失函数，J 为正则化项。通常来说，正则化项往往是关于模型参数的 1 - 范数或者 2 - 范数，当然也有可能是这两者的某种结合，例如 sklearn 的逻辑回归中的弹性网正则化项，其中加入模型参数的 1 - 范数的正则化也被称为 l1 正则化，加入模型参数的 2 - 范数的正则化也被称为 l2 正则化。

注：在数学和线性代数里，范数是衡量向量（或矩阵 ）“大小、长度” 的工具，1 - 范数和 2 - 范数是常用类型，常应用于机器学习正则化等场景，以下从向量和矩阵角度说明： 

向量的 1 - 范数、2 - 范数

• 1 - 范数（曼哈顿范数）：
  
  比如向量 v=(3,−2,5)，1 - 范数为 ∣3∣+∣−2∣+∣5∣=3+2+5=10 ，可理解为在 “曼哈顿街区” 从一点到另一点的折线距离。

• 2 - 范数（欧几里得范数）：
  对向量 v=(v1​,v2​,…,vn​)，2 - 范数是各元素平方和的平方根，公式：

为什么需要正则化？有什么作用

一般来说，正则化核心的作用是缓解模型过拟合倾向，此外，由于加入正则化项后损失函数的形体发生了变化，因此也会影响损失函数的求解过程，在某些时候，加入了正则化项之后会让损失函数的求解变得更加高效。如此前介绍的岭回归，其实就是在线性回归的损失函数基础上加入了 w 的 1 - 范数，而 Lasso 则是加入了 w 的 2 - 范数。并且，对于逻辑回归来说，如果加入 l2 正则化项，损失函数就会变成严格的凸函数。

经验风险与结构风险

在我们构建损失函数求最小值的过程，其实就是依据以往经验（也就是训练数据）追求风险最小（以往数据误差最小）的过程，而在给定一组参数后计算得出的损失函数的损失值，其实就是经验风险。而所谓结构风险，我们可以将其等价为模型复杂程度，模型越复杂，模型结构风险就越大。而正则化后的损失函数在进行最小值求解的过程中，其实是希望损失函数本身和正则化项都取得较小的值，即模型的经验风险和结构风险能够同时得到控制。

模型的经验风险需要被控制不难理解，因为我们希望模型能够尽可能的捕捉原始数据中的规律，但为何模型的结构风险也需要被控制？核心原因在于，尽管在一定范围内模型复杂度增加能够有效提升模型性能，但模型过于复杂可能会导致另一个非常常见的问题 —— 模型过拟合，一旦模型过拟合了，尽管模型经验风险在降低、但模型的泛化能力会下降。因此，为了控制模型过拟合倾向，我们可以把模型结构风险纳入损失函数中一并考虑，当模型结构风险的增速高于损失值降低的收益时，我们就需要停止参数训练（迭代）。

二.过拟合

只有挖掘出贯穿始终的规律（同时影响训练数据和新数据的规律），模型才能够进行有效预测。不过，既然有些贯穿始终的全局规律，那就肯定存在一些只影响了一部分数据的局部规律。一般来说，由于全局规律影响数据较多，因此更容易被挖掘，而局部规律只影响部分数据，因此更难被挖掘，因此从较为宽泛的角度来看，但伴随着模型性能提升，也是能够捕获很多局部规律的。但是需要知道的是，局部规律对于新数据的预测并不能起到正面的作用，反而会影响预测结果，此时就出现模型过拟合现象。

以下解释代码明天后补