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爬楼梯算法

现在只看明白动态规划，也没有很难哟！！

题目

70. 爬楼梯假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

java题解

class Solution {public int climbStairs(int n) {int p = 0, q = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {p = q; q = r; r = p + q;}return r;}
}

这个爬楼梯算法实际上是一个经典的动态规划问题，也可以看作是斐波那契数列的变种。让我来详细解释一下：

问题理解

假设你正在爬楼梯，需要n阶才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

例如：

• 当n=2时，有两种方法：1+1 或直接 2 步
• 当n=3时，有三种方法：1+1+1、1+2、2+1
• 当n=4时，有五种方法：1+1+1+1、1+1+2、1+2+1、2+1+1、2+2

动态规划思路

动态规划的核心是将大问题分解为小问题，并存储小问题的解避免重复计算。

对于爬楼梯问题，关键观察点是：

• 到达第i阶楼梯的方法数 = 到达第i-1阶的方法数（再爬 1 步） + 到达第i-2阶的方法数（再爬 2 步）
• 即状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

代码解释

你提供的代码正是基于这个思路实现的，只不过使用了滚动数组优化空间复杂度：

java

public int climbStairs(int n) {int p = 0, q = 0, r = 1;for (int i = 1; i <= n; ++i) {p = q;     // p 记录 dp[i-2] 的值q = r;     // q 记录 dp[i-1] 的值r = p + q; // r 计算当前 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]}return r;
}

执行过程示例

以n=3为例：

1. 初始状态：p=0, q=0, r=1
2. 循环开始：
   • i=1: p=0, q=1, r=p+q=1 → 到达第 1 阶有 1 种方法
   • i=2: p=1, q=1, r=p+q=2 → 到达第 2 阶有 2 种方法
   • i=3: p=1, q=2, r=p+q=3 → 到达第 3 阶有 3 种方法
3. 返回结果：r=3

复杂度分析

• 时间复杂度：O (n)，只需遍历一次
• 空间复杂度：O (1)，只使用了三个变量

这种优化方法避免了创建长度为n的数组，在空间效率上更高。本质上，这个问题和斐波那契数列的计算是一样的，只是起始条件略有不同（斐波那契通常从 0 和 1 开始，而爬楼梯这里从 1 和 1 开始）。