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我们来详细解析这个非常重要的概念：变上限积分是被积函数的一个原函数。

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🌟 核心结论：

设 $f(x)$ 是在区间 $[a,b]$ 上连续的函数，定义：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即：

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

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✅ 一、为什么叫“变上限积分”？

• 被积函数是 $f(t)$，变量是 $t$，从固定下限 $a$ 积到可变上限 $x$。
• 所以这个积分值是关于 $x$ 的函数，称为变上限积分函数。

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🧠 二、直观理解（面积函数）

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

可以理解为从 $a$ 到 $x$ 之间 $f(t)$ 下的面积。

• 这个面积随着 $x$ 增大而改变 ⇒ $F(x)$ 是一个函数。
• $F^{\prime }(x)$ 表示单位长度 $x$ 的面积增长速度，就是函数在 $x$ 处的函数值 ⇒ $f(x)$。

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🧪 三、用极限严格推导（来自微积分基本定理）

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🎯 四、常见形式与变式

1. 常见形式：

$$F(x)={\int }_0^x\cos tdt\Rightarrow F^{\prime }(x)=\cos x$$

2. 上限是函数的变式（链式法则）：

若：

$$G(x)={\int }_a^{g(x)}f(t)dt$$

那么：

$$G^{\prime }(x)=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

📌 注意：需要链式法则！

例子：

$$G(x)={\int }_1^{x^2}\ln tdt\Rightarrow G^{\prime }(x)=\ln (x^2)\cdot 2x=2x\ln (x^2)$$

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🧩 五、总结

形式	结果	说明
$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$	$F^{\prime }(x)=f(x)$	基本形式
$F(x)={\int }_{g(x)}^{a}f(t)dt$	$F^{\prime }(x)=-f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$	下限是变量
$F(x)={\int }_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt$	$F^{\prime }(x)=f(h(x))h^{\prime }(x)-f(g(x))g^{\prime }(x)$	上下限都是函数（莱布尼茨公式）

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如果你想更进一步理解某个变上限积分、或计算一个具体例子，我可以带你一步步分析！

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当然，以下是你提供内容的整理版本，保持清晰、条理分明的结构，并修正细节，使表达更准确：

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✅ 变上限积分是函数的原函数 —— 详解与总结

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6. 注意事项

1. 连续性要求
   若函数 $f(x)$ 在区间内连续，则变上限积分函数

   $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

   是 $f(x)$ 的一个原函数，满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$。
   否则，导数可能不存在或不连续。

2. 下限为变量的情况
   若下限是一个函数 $v(x)$，则需注意符号，应用链式法则：

   $$\frac{d}{dx}\left({\int }_{v(x)}^{a}f(t)dt\right)=-f(v(x))\cdot v^{\prime }(x)$$

   原因是变上限积分始终按“下到上”方向定义。

3. 原函数的唯一性与常数项
   变上限积分定义的函数

   $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

   是 $f(x)$ 的一个特定原函数，满足 $F(a)=0$。
   而任何原函数的通式形式为：

   $$F(x)+C$$

   所以变上限积分提供了一个确定的原函数（对应常数 $C=0$）。

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7. 与不定积分的关系

• 不定积分：

  $$\int f(x)dx$$

  表示所有原函数的集合，包含无穷多个函数，仅差一个常数。

• 变上限积分：

  $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

  是这些原函数中的一个特例，且满足：

  $$F^{\prime }(x)=f(x),F(a)=0$$

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✅ 总结

• 变上限积分函数：

  $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

  是 $f(x)$ 的一个原函数，满足：

  $$F^{\prime }(x)=f(x)$$

• 它是微积分基本定理（第一部分）的核心结果，建立了微分与积分之间的桥梁。

• 在实际应用中，它常用于：

  • 构造原函数；
  • 求解微分方程；
  • 处理函数定义与积分关系等问题。

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