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一、二叉树的本质定义与核心特性

（一）递归定义与逻辑结构

二叉树是一种 严格有序的树结构，其递归定义为：

1. 空树：不含任何结点的集合，是二叉树的特殊形态。
2. 非空二叉树：由以下三部分组成：

• 根结点（Root）：唯一的顶层结点，没有父结点。
• 左子树（Left Subtree）：以根结点左子结点为根的二叉树。
• 右子树（Right Subtree）：以根结点右子结点为根的二叉树。

关键特性：

• 度的限制：每个结点最多有 2 个子结点（度为 0、1 或 2），不存在度大于 2 的结点。
• 有序性：左右子树顺序严格区分，例如仅有左子结点的树与仅有右子结点的树视为不同结构。
• 五种基本形态：

（二）结点关系与术语

• 父结点与子结点：若结点 A 的子结点为 B，则 A 是 B 的父结点，B 是 A 的左 / 右子结点。
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称兄弟，如 B 和 C 是兄弟。
• 叶子结点与分支结点：
  • 叶子结点：度为 0 的结点（无任何子结点）。
  • 分支结点：度为 1 或 2 的结点（至少有一个子结点）。
• 层次与高度：
  • 层次：根结点为第 1 层，子结点为第 2 层，依此类推。
  • 高度：树中结点的最大层次，如高度为 3 的二叉树最多有 7 个结点（满二叉树）。

二、特殊二叉树：满二叉树与完全二叉树的对比分析

（一）满二叉树（Perfect Binary Tree）

• 数学定义：高度为 h 的满二叉树，每层结点数达到最大值 2h−1，结点总数为 2h−1。
• 结构特点：
  • 所有叶子结点位于最后一层（第 h 层）。
  • 不存在度为 1 的结点，每个分支结点都有左右两个子结点。
• 示例（高度 3）：

结点数：2*3−1=7，每层结点数分别为 1、2、4。

（二）完全二叉树（Complete Binary Tree）

• 定义：高度为 h、结点数为 n 的二叉树，其结点与高度为 h 的满二叉树中前 n 个结点一一对应（按层序编号）。
• 结构特点：
  • 前 h−1 层是满二叉树，第 h 层结点从左到右连续排列，不允许中间有空缺。
  • 满二叉树是特殊的完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。
• 示例（高度 3，结点数 5）：

  

  
  与满二叉树前 5 个结点（1,2,3,4,5）位置一致，第 3 层仅有左子结点。

（三）核心区别对比

特性	满二叉树	完全二叉树
结点分布	每层满结点	前 h−1 层满，第 h 层左连续
度为 1 的结点	不存在（必为 0 或 2）	最多一个，且只能在最后一层
结点数公式	2^h-1	n∈[2^(h−1),2^h−1]

三、存储结构：顺序存储 vs 链式存储的适用场景与实现细节

（一）顺序存储（数组实现，适合完全二叉树）

• 存储逻辑：用一维数组按层序存储结点，下标对应结点编号：
  • 根结点：下标 0
  • 结点 i 的左子结点：2i+1（若存在）
  • 结点 i 的右子结点：2i+2（若存在）
  • 结点 i 的父结点：(i−1)/2（i>0 时）
• 示例（完全二叉树）：

  

  
  数组存储：[1, 2, 3, 4, 5]
• 非完全二叉树的空间浪费：
  若树结构为单链（仅有左子结点），高度为 h 的树需 2h−1 个存储空间，实际仅用 h 个，空间利用率低。

（二）链式存储（二叉链表，适合任意二叉树）

• 结点结构：

  typedef int BTDataType;
  typedef struct BinaryTreeNode {struct BinaryTreeNode* left;  // 左子结点指针struct BinaryTreeNode* right; // 右子结点指针BTDataType val;              // 数据域
  } BTNode;
  

• 创建与连接结点：

  // 创建新结点
  BTNode* BuyBTNode(BTDataType val) {BTNode* newNode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (!newNode) { perror("malloc failed"); return NULL; }newNode->val = val;newNode->left = newNode->right = NULL; // 初始左右子结点为空return newNode;
  }// 构建二叉树示例：1为根，左子2，右子4，2的左子3，4的左子5、右子6
  BTNode* CreateTree() {BTNode* n1 = BuyBTNode(1);BTNode* n2 = BuyBTNode(2);BTNode* n3 = BuyBTNode(3);BTNode* n4 = BuyBTNode(4);BTNode* n5 = BuyBTNode(5);BTNode* n6 = BuyBTNode(6);n1->left = n2; n1->right = n4; // 根结点连接左右子n2->left = n3; // 2号结点仅有左子n4->left = n5; n4->right = n6; // 4号结点有左右子return n1; // 返回根结点
  }
  

• 优缺点：
  • 优点：动态灵活，无空间浪费，适合频繁插入 / 删除。
  • 缺点：需额外指针空间（每个结点两个指针），实现复杂度高于顺序存储。

四、遍历方式：递归遍历与层序遍历的实现与原理

（一）深度优先遍历（DFS，递归实现）

1. 前序遍历（根→左→右）

• 访问顺序：先访问根结点，再递归前序遍历左子树，最后递归前序遍历右子树。
• 代码实现：

  void PreOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) { printf("N "); // 空结点标记为"N"return; }printf("%d ", root->val); // 访问根PreOrder(root->left);     // 递归左子树PreOrder(root->right);    // 递归右子树
  }
  

• 示例输出（树结构同上）：1 2 3 N N N 4 5 N N 6 N N
  （注：N 表示空结点，实际应用中可省略，此处为展示结构）

2. 中序遍历（左→根→右）

• 访问顺序：先递归中序遍历左子树，再访问根结点，最后递归中序遍历右子树。
• 代码实现：

  void InOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) { printf("N "); return; }InOrder(root->left);    // 递归左子树printf("%d ", root->val); // 访问根InOrder(root->right);   // 递归右子树
  }
  

• 示例输出：N 3 N 2 N 1 N 5 N 4 N 6 N
  （实际非空结点中序：3 2 1 5 4 6）

3. 后序遍历（左→右→根）

• 访问顺序：先递归后序遍历左子树，再递归后序遍历右子树，最后访问根结点。
• 代码实现：

  void PostOrder(BTNode* root) {if (root == NULL) { printf("N "); return; }PostOrder(root->left);   // 递归左子树PostOrder(root->right);  // 递归右子树printf("%d ", root->val); // 访问根
  }
  

• 示例输出：N N 3 N N 2 N N 5 N 6 4 1
  （实际非空结点后序：3 2 5 6 4 1）

（二）广度优先遍历（BFS，层序遍历）

• 实现原理：借助队列，按层从上到下、每层从左到右访问结点。
• 代码步骤：
  1. 根结点入队。
  2. 循环取出队首结点，访问后将其左右子结点（若存在）入队。
  3. 直到队列为空。
• 代码实现（假设队列已实现）：

  void LevelOrder(BTNode* root) {Queue q;QueueInit(&q); // 初始化队列if (root) QueuePush(&q, root); // 根结点入队（非空时）while (!QueueEmpty(&q)) {BTNode* node = QueueFront(&q); // 取队首结点QueuePop(&q);                  // 出队printf("%d ", node->val);      // 访问结点// 左右子结点入队if (node->left)  QueuePush(&q, node->left);if (node->right) QueuePush(&q, node->right);}QueueDestroy(&q); // 销毁队列，释放内存
  }
  

• 示例输出（树结构同上）：1 2 4 3 5 6

五、堆：基于完全二叉树的高效数据结构

（一）堆的定义与性质

• 定义：满足 “堆性质” 的完全二叉树，分为两种类型：
  • 大根堆：父结点值 ≥ 子结点值（根结点为最大值）。
  • 小根堆：父结点值 ≤ 子结点值（根结点为最小值）。
• 存储结构：用数组实现，下标对应完全二叉树结点编号。
• 堆性质：对于数组下标 i，有：
  • 大根堆：a[i]≥a[2i+1] 且 a[i]≥a[2i+2]（若子结点存在）。
  • 小根堆：a[i]≤a[2i+1] 且 a[i]≤a[2i+2]。

（二）核心操作：向上调整与向下调整

1. 向上调整（插入新结点时恢复堆性质）

• 场景：新结点插入堆尾（数组末尾），可能破坏堆性质，需与父结点比较并交换。
• 算法步骤：
  1. 计算新结点下标 child，父结点 parent=(child−1)/2。
  2. 若 child>0 且新结点值大于父结点（大根堆），交换两者，更新 child=parent，重复直至堆性质满足。
• 代码实现（大根堆）：

  void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0) { // 未到根结点if (a[child] > a[parent]) { // 若子结点大于父结点（大根堆条件）Swap(&a[child], &a[parent]); // 交换child = parent;             // 继续向上检查parent = (child - 1) / 2;} else {break; // 已满足堆性质，停止}}
  }
  

2. 向下调整（删除堆顶时恢复堆性质）

• 场景：堆顶元素删除后，将堆尾元素移至堆顶，需与子结点比较并交换。
• 算法前提：左右子树已满足堆性质。
• 算法步骤：
  1. 设当前结点为 parent，左子结点 child=2parent+1。
  2. 找到左右子结点中较大者（大根堆），若较大子结点值大于父结点，交换两者，更新 parent=child，重复直至堆性质满足。
• 代码实现（大根堆）：

  void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {int child = 2 * parent + 1; // 左子结点下标while (child < n) { // 子结点存在// 若右子结点存在且更大，选右子结点if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) {child++;}// 若子结点大于父结点，交换if (a[child] > a[parent]) {Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;} else {break; // 已满足堆性质，停止}}
  }
  

（三）堆排序：高效的原地排序算法

• 步骤（升序排序，构建大根堆）：
  1. 建堆：对数组从最后一个分支结点开始，自底向上调用 AdjustDown，时间复杂度 O(n)。
  2. 排序：每次将堆顶（最大值）与堆尾元素交换，堆大小减 1，对新堆顶调用 AdjustDown，重复直至堆空。
• 代码框架：

  void HeapSort(int* a, int n) {// 1. 建大根堆for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--) { // 最后一个分支结点的父结点AdjustDown(a, n, i);}// 2. 排序：交换堆顶与堆尾，调整堆int end = n - 1;while (end > 0) {Swap(&a[0], &a[end]); // 最大值放到末尾AdjustDown(a, end, 0); // 调整前end个元素为堆end--;}
  }
  

• 时间复杂度：建堆 O(n) + 排序 O(nlogn)，总复杂度 O(nlogn)。

六、二叉树的重要性质与经典问题求解

（一）核心性质推导

1. 叶子结点数公式：n0​=n2​+1

• 推导过程：
  设二叉树中度为 0、1、2 的结点数分别为 n0​、n1​、n2​，总结点数 n=n0​+n1​+n2​。
  二叉树边数 E=n−1（每个结点除根外有且仅有一个父结点），同时边数等于各结点度之和：E=0⋅n0​+1⋅n1​+2⋅n2​。
  联立得：n0​+n1​+n2​−1=n1​+2n2​，化简得 n0​=n2​+1。

2. 完全二叉树高度计算

• 公式：高度 h=⌊log2​n⌋+1，其中 n 为结点数。
• 推导：高度为 h 的完全二叉树结点数范围：2h−1≤n≤2h−1，取对数得 h−1≤log2​n<h，故 h=⌊log2​n⌋+1。

（二）经典例题解析

例题 1：某二叉树有 399 个结点，其中 199 个度为 2 的结点，求叶子结点数。

• 解答：根据 n0​=n2​+1=199+1=200

例题 2：判断完全二叉树（层序序列 ABCDEFGH）的前序序列。

• 分析：完全二叉树结构如下：

前序遍历顺序：A → B → D → H → E → C → F → G

七、实战应用：判断完全二叉树与销毁二叉树

（一）判断完全二叉树（层序遍历法）

• 算法思路：
  1. 层序遍历二叉树，遇到第一个空结点后，后续结点必须全为空。
  2. 用队列记录结点，当某结点为空时，标记 “已进入空结点阶段”，后续若再遇到非空结点，返回 false。
• 代码实现：

  bool IsCompleteBinaryTree(BTNode* root) {Queue q;QueueInit(&q);if (root) QueuePush(&q, root); // 根结点入队（非空时）bool hasNull = false; // 是否已遇到空结点while (!QueueEmpty(&q)) {BTNode* node = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (node == NULL) {hasNull = true; // 标记进入空结点阶段} else {if (hasNull) {// 空结点之后出现非空结点，非完全二叉树QueueDestroy(&q);return false;}// 非空结点，左右子结点入队（空结点也需入队，用于标记）QueuePush(&q, node->left);QueuePush(&q, node->right);}}QueueDestroy(&q);return true;
  }
  

（二）销毁二叉树（递归释放内存）

• 注意事项：二叉树结点通过动态内存分配创建，需递归释放每个结点及其子树。
• 代码实现：

  void DestroyBinaryTree(BTNode** root) {if (*root == NULL) return; // 空树直接返回// 先销毁左子树和右子树DestroyBinaryTree(&(*root)->left);DestroyBinaryTree(&(*root)->right);// 释放当前结点内存free(*root);*root = NULL; // 防止野指针
  }
  

八、总结与拓展方向

（一）核心价值

二叉树是理解树结构的基础，其递归定义和层次特性支撑了大量算法：

• 理论层面：满二叉树与完全二叉树的数学性质为算法分析提供依据。
• 应用层面：堆排序、TOP-K 问题、文件系统目录结构、编译器语法树等均依赖二叉树思想。

（二）拓展学习建议

1. 算法题实践：

                对称二叉树、二叉树的中序遍历 、 二叉树的前序遍历 、相同的树​​​​​ 、 另一棵树的子树

1. 数据结构进阶：
   • 二叉搜索树（BST）、AVL 树、红黑树（自平衡二叉树）。
   • 哈夫曼树（带权路径最短的二叉树，用于压缩算法）。
2. 工程实现：
   • 用 C++ 模板实现链式二叉树，支持动态插入、删除、遍历。
   • 用 Python 实现堆结构，解决实际场景中的 TOP-K 问题。

附录

二叉树

//Queue.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>//typedef int QDataType;
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;
typedef struct QListNode
{struct QListNode* next;QDataType data;
}QNode;// 队列的结构 
typedef struct Queue
{QNode* front;QNode* rear;
}Queue;// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
bool QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q);

//Tree.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<math.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x);
void PreOrder(BTNode* root);
void InOrder(BTNode* root);
void PostOrder(BTNode* root);
int BTNSize(BTNode* root);
int BTLSize(BTNode* root);
int BTLKSize(BTNode* root, int k);
int BTDepth(BTNode* root);
BTNode* BTFind(BTNode* root, BTDataType x);
void BTDestroy(BTNode**root);
void LevelOrder(BTNode* root);
bool BTComplete(BTNode* root);

//Queue.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Queue.h"
// 初始化队列 
void QueueInit(Queue* q)
{q->front = q->rear = NULL;
}
// 队尾入队列 
void QueuePush(Queue* q, QDataType data)
{QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode == NULL){perror("malloc fail1");exit(1);}newnode->data = data;newnode->next = NULL;if (q->front == NULL){q->front = q->rear = newnode;}else{q->rear->next = newnode;q->rear = newnode;}
}
// 检测队列是否为空，如果为空返回非零结果，如果非空返回0 
bool QueueEmpty(Queue* q)
{assert(q);return q->front == NULL;
}
// 队头出队列 
void QueuePop(Queue* q)
{assert(!QueueEmpty(q));if (q->front == q->rear){free(q->front);q->front = q->rear = NULL;}else{QNode* tmp = q->front->next;free(q->front);q->front = tmp;}
}
// 获取队列头部元素 
QDataType QueueFront(Queue* q)
{assert(!QueueEmpty(q));return q->front->data;
}
// 获取队列队尾元素 
QDataType QueueBack(Queue* q)
{assert(!QueueEmpty(q));return q->rear->data;}
// 获取队列中有效元素个数 
int QueueSize(Queue* q)
{assert(q);int count = 0;QNode* tmp = q->front;while (tmp != NULL){count++;tmp = tmp->next;}return count;
}
// 销毁队列 
void QueueDestroy(Queue* q)
{assert(q);QNode* pcur = q->front;while (q->front){QNode* tmp = q->front->next;free(q->front);q->front = tmp;}q->front = q->rear = NULL;
}

//Tree.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Tree.h"
#include"Queue.h"
BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)
{BTNode* tmp = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (tmp == NULL){perror("malloc fail");exit(1);}tmp->data = x;tmp->left = tmp->right = NULL;return tmp;
}
void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return ;}printf("%c ", root->data);PreOrder(root->left);PreOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return ;}InOrder(root->left);printf("%c ", root->data);InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("NULL ");return ;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);
}
int BTNSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return 1 + BTNSize(root->left) + BTNSize(root->right);
}
int BTLSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if ((root->left == NULL) && (root->right == NULL)){return 1;}return BTLSize(root->left) + BTLSize(root->right);
}
int BTLKSize(BTNode* root, int k){if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BTLKSize(root->left, k--) + BTLKSize(root->right, k--);
}
int BTDepth(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}int ld = BTDepth(root->left);int rd = BTDepth(root->right);return 1 + (ld > rd ? ld : rd);
}
BTNode* BTFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->data == x){return root;}BTNode* left=BTFind(root->left,x);if (left){return left;}BTNode* right=BTFind(root->right,x);if (right){return right;}return NULL;
}
void BTDestroy(BTNode** root)
{if (root == NULL){return;}BTDestroy(&((*root)->left));BTDestroy(&((*root)->right));free(*root);*root = NULL;
}
void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* top = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c ", top->data);if (top->left)QueuePush(&q, top->left);if (top->right)QueuePush(&q, top->right);}QueueDestroy(&q);
}
bool BTComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* top = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (top == NULL){break;}QueuePush(&q, top->left);QueuePush(&q, top->right);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* top = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (top != NULL){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;
}

堆

//Heap.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;int capacity;
}HP;
// 堆的初始
void HPInit(HP* ph);
// 堆的销毁
void HPDestroy(HP* ph);
// 堆的插入
void HPPush(HP* ph, HPDataType x);
// 堆的删除
void HPPop(HP* ph);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(HP* ph);
// 堆的数据个数
int HPSize(HP* ph);
// 堆的判空
int HPEmpty(HP* ph);
//void HPPrint(HP* ph);
void HPPrint(HPDataType* arr, int size);
void HPjustUp(HPDataType* arr, int child);
//void HPjustDown(HPDataType* arr, int n);
void HPjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n);
void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b);

//Heap.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
void HPInit(HP* ph)
{assert(ph);ph->arr = NULL;ph->capacity = ph->size = 0;
}
void HPDestroy(HP* ph)
{assert(ph);if (ph->arr == NULL)free(ph->arr);ph->arr = NULL;ph->capacity = ph->size = 0;
}
void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{HPDataType tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}
void HPjustUp(HPDataType* arr,int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
void HPPush(HP* ph, HPDataType x)
{assert(ph);if (ph->capacity == ph->size){int newcapacity = ph->capacity == 0 ? 1 : 2 * ph->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(ph->arr, newcapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("relloc fail");exit(1);}ph->arr = tmp;ph->capacity = newcapacity;}ph->arr[ph->size] = x;HPjustUp(ph->arr, ph->size);++ph->size;
}
int HPEmpty(HP* ph)
{assert(ph);return ph->size==0;
}
void HPjustDown(HPDataType* arr,int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}
void HPPop(HP* ph)
{assert(!HPEmpty(ph));Swap(&ph->arr[0], &ph->arr[ph->size-1]);ph->size--;HPjustDown(ph->arr,0 , ph->size);
}
HPDataType HeapTop(HP* ph)
{assert(!HPEmpty(ph));return ph->arr[0];
}
int HPSize(HP* ph)
{assert(!HPEmpty(ph));return ph->size;
}
//void HPPrint(HP* ph)
//{
//	assert(!HPEmpty(ph));
//	int tmp = 0;
//	while (tmp<ph->size)
//	{
//		printf("%d ", ph->arr[tmp]);
//		tmp++;
//	}
//	printf("\n");
//}
void HPPrint(HPDataType* arr, int size)
{int tmp = 0;while (tmp < size){printf("%d ", arr[tmp]);tmp++;}printf("\n");
}