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题目

问题3：梁的振荡由方程描述：
$$u_{tt}+K{u}_{xxxx}=0,0<x<l,$$
其中 $$K>0$$。

如果两端被夹住（即位置和方向固定），则边界条件为：
$$u(0,t)=u_x(0,t)=0,u(l,t)=u_x(l,t)=0.$$

(a) 找到描述频率的方程，并求相应的特征函数（可假设所有特征值为实数且正）。

(b) 图形化解频率方程（即绘制相应函数，其与OX轴的交点 $$(z_n,0)$$ 给出频率 $${\omega }_n=\omega (z_n)$$。

© 证明对应于不同特征值的特征函数是正交的。

(d) 奖励：证明特征值是简单的（即同一特征值对应的所有特征函数成比例）。

(e) 奖励：在计算机上绘制前几个特征函数的草图。

提示：改变坐标系，使区间变为 $$[-L,L]$$，其中 $$L=l/2$$；分别考虑偶函数和奇函数的特征函数。

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解决问题3

使用分离变量法：令 $$u(x,t)=X(x)T(t)$$。代入方程得：
$$X\ddot{T}+K{X}^{(4)}T=0.$$
分离变量：
$$\frac{\ddot{T}}{T}=-\lambda ,K\frac{X^{(4)}}{X}=\lambda ,$$
其中 $$\lambda$$ 是分离常数。假设 $$\lambda >0$$（特征值实数且正），则时间方程和空间方程为：
$$\ddot{T}+\lambda T=0,$$
$$X^{(4)}-{\mu }^{4}X=0,{\mu }^4=\frac{\lambda }{K}.$$
空间方程的通解为：
$$X(x)=A\cosh (\mu x)+B\sinh (\mu x)+C\cos (\mu x)+D\sin (\mu x).$$

(a) 频率方程和特征函数

应用边界条件：

• $$X(0)=0$$：$$A+C=0$$，即 $$C=-A$$。
• $$X^{\prime }(0)=0$$：$$\mu (B+D)=0$$，即 $$B+D=0$$，所以 $$D=-B$$。
• $$X(l)=0$$：$$A\cosh (\mu l)+B\sinh (\mu l)-A\cos (\mu l)-B\sin (\mu l)=0$$。
• $$X^{\prime }(l)=0$$：$$\mu [A(\sinh (\mu l)+\sin (\mu l))+B(\cosh (\mu l)-\cos (\mu l))]=0$$.

简化后得齐次系统：
$$A(\cosh z-\cos z)+B(\sinh z-\sin z)=0,$$
$$A(\sinh z+\sin z)+B(\cosh z-\cos z)=0,$$
其中 $$z=\mu l$$. 非零解要求系数行列式为零：
$$(\cosh z-\cos z{)}^2-(\sinh z-\sin z)(\sinh z+\sin z)=0.$$
计算得：
$${\sinh }^{2}z-{\sin }^{2}z={\cosh }^{2}z+{\cos }^{2}z-2,$$
$$(\cosh z-\cos z{)}^2-({\cosh }^{2}z+{\cos }^{2}z-2)=-2\cosh z\cos z+2=0,$$
所以频率方程为：
$$\cosh z\cos z=1,z=\mu l.$$
特征值 $$\lambda =K{\mu }^4=K{\left(\frac{z}{l}\right)}^4$$，角频率 $$\omega =\sqrt{\lambda }=\sqrt{K}{\left(\frac{z}{l}\right)}^2$$。频率 $${\omega }_n$$ 对应方程 $$\cosh z\cos z=1$$ 的根 $$z_n$$.

特征函数为：
$$X_n(x)=\left[\cosh ({\mu }_{n}x)-\cos ({\mu }_{n}x)\right]+b_n\left[\sinh ({\mu }_{n}x)-\sin ({\mu }_{n}x)\right],$$
其中 $${\mu }_n=\frac{z_n}{l}$$, $$b_n=-\frac{\sinh z_n+\sin z_n}{\cosh z_n-\cos z_n}$$, 且 $$z_n$$ 是 $$\cosh z\cos z=1$$ 的根。

(b) 图形化解频率方程

定义函数：
$$f(z)=\cosh z\cos z-1.$$
求解 $$f(z)=0$$ 等价于求 $$\cosh z\cos z=1$$ 的根。绘制 $$f(z)$$ 对于 $$z>0$$ 的图像（因为特征值正），交点 $$(z_n,0)$$ 给出 $${\omega }_n=\sqrt{K}{\left(\frac{z_n}{l}\right)}^2$$.

• 函数行为：
  • $$f(0)=\cosh 0\cos 0-1=0$$（平凡解，无效）。
  • 对于小 $$z>0$$，$$f(z)\approx -\frac{z^4}{4}<0$$.
  • $$z=\pi /2\approx 1.57$$：$$f(\pi /2)=\cosh (\pi /2)\cdot 0-1=-1<0$$.
  • $$z=\pi \approx 3.14$$：$$f(\pi )=\cosh (\pi )\cdot (-1)-1\approx -24.097<0$$.
  • $$z=2\pi \approx 6.28$$：$$f(2\pi )=\cosh (2\pi )\cdot 1-1\approx 266.744>0$$.
• 根的位置：在 $$(\pi ,2\pi )$$、$$(2\pi ,3\pi )$$、$$(3\pi ,4\pi )$$ 等区间有根。例如，第一根 $$z_1\approx 4.730$$，第二根 $$z_2\approx 7.853$$，等。
• 绘图：使用计算软件（如 MATLAB、Python）绘制 $$f(z)$$：

  import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as pltz = np.linspace(0, 10, 1000)
  f = np.cosh(z) * np.cos(z) - 1plt.plot(z, f)
  plt.axhline(0, color='r', linestyle='--')
  plt.xlabel('z')
  plt.ylabel('f(z)')
  plt.title('Graphical Solution of $\cosh z \cos z = 1$')
  plt.grid(True)
  plt.show()
  

  交点 $$z_n$$ 给出频率 $${\omega }_n$$.

© 特征函数正交性证明

考虑特征值问题：$$X^{(4)}=\gamma X$$，$$\gamma ={\mu }^4=\lambda /K$$，边界条件 $$X(0)=X^{\prime }(0)=X(l)=X^{\prime }(l)=0$$。设 $${\gamma }_m\ne {\gamma }_n$$ 对应特征函数 $$X_m,X_n$$。

由分部积分：
$${\int }_0^l{X}_m^{(4)}{X}_{n}dx={\left[X_m^{\prime \prime \prime }{X}_n-X_m^{\prime \prime }{X}_n^{\prime }+X_m^{\prime }{X}_n^{\prime \prime }-X_m{X}_n^{\prime \prime \prime }\right]}_0^l+{\int }_0^l{X}_m{X}_n^{(4)}dx.$$
边界条件下，所有端点项为零（因为 $$X_m,X_n$$ 及其一阶导数为零）。所以：
$${\int }_0^l{X}_m^{(4)}{X}_{n}dx={\int }_0^l{X}_m{X}_n^{(4)}dx.$$
代入 $$X_m^{(4)}={\gamma }_m{X}_m$$, $$X_n^{(4)}={\gamma }_n{X}_n$$:
$${\gamma }_m{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx={\gamma }_n{\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx,$$
$$({\gamma }_m-{\gamma }_n){\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx=0.$$
因为 $${\gamma }_m\ne {\gamma }_n$$，有：
$${\int }_0^l{X}_m{X}_{n}dx=0.$$
所以特征函数正交。

(d) 特征值简单性证明（奖励）

设 $$\gamma$$ 为特征值，$$X_1,X_2$$ 为对应特征函数。通解为：
$$X(x)=A[\cosh (\mu x)-\cos (\mu x)]+B[\sinh (\mu x)-\sin (\mu x)],\mu ={\gamma }^{1/4}.$$
边界条件 $$X(l)=0$$, $$X^{\prime }(l)=0$$ 给出关于 $$A,B$$ 的齐次线性系统：
$$A(\cosh z-\cos z)+B(\sinh z-\sin z)=0,$$
$$A(\sinh z+\sin z)+B(\cosh z-\cos z)=0,$$
其中 $$z=\mu l$$. 特征方程 $$\cosh z\cos z=1$$ 使系数矩阵行列式为零，故方程线性相关。因此解空间一维，$$A$$ 和 $$B$$ 成比例，特征函数在常数倍下唯一，即特征值简单。

(e) 特征函数草图（奖励，描述）

使用计算软件绘制前几个特征函数。以 $$l=1$$, $$K=1$$ 为例，根 $$z_n$$ 满足 $$\cosh z\cos z=1$$：

• $$z_1\approx 4.730$$, $${\mu }_1=z_1/l\approx 4.730$$, $$b_1\approx -1.000$$.
• $$z_2\approx 7.853$$, $${\mu }_2=z_2/l\approx 7.853$$, $$b_2\approx -1.000$$.

特征函数：
$$X_n(x)=[\cosh ({\mu }_{n}x)-\cos ({\mu }_{n}x)]+b_n[\sinh ({\mu }_{n}x)-\sin ({\mu }_{n}x)].$$

Python 代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltl = 1
z_roots = [4.730, 7.853]  # 前两个根
b_values = [-1.000, -1.000]  # 近似 b_nx = np.linspace(0, l, 100)
plt.figure(figsize=(10, 6))for i, (z, b) in enumerate(zip(z_roots, b_values)):mu = z / lX = (np.cosh(mu * x) - np.cos(mu * x)) + b * (np.sinh(mu * x) - np.sin(mu * x))plt.plot(x, X, label=f'$X_{i+1}(x)$')plt.title('First Eigenfunctions for Clamped Beam')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('X(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

草图描述：

• $$X_1(x)$$：类似正弦波，一个半波，满足边界条件。
• $$X_2(x)$$：两个半波，节点数增加。

结果应显示特征函数在端点处斜率和值为零。