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wzjs 2025/8/1 23:23:33

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第二章: 机器学习与神经网络概述

第二部分：降维算法理论与实践

第二节：线性判别分析（LDA）

内容：类间散度矩阵、类内散度矩阵、降维与分类结合。

一、LDA 的目标

LDA 是一种有监督降维方法，它不仅考虑维度压缩，还注重提升类别可分性。其核心思想是：

在降低数据维度的同时，使类间距离尽可能大，类内距离尽可能小。

二、核心概念

类内散度矩阵（Within-Class Scatter Matrix） $S_W$

衡量同一类别内部的样本分布紧密程度：

$S_W = \sum_{c=1}^{k} \sum_{x_i \in C_c} (x_i - \mu_c)(x_i - \mu_c)^T$

$C_c$ ：第 c 类的样本集合
$\mu_c$ ：第 c 类的均值向量

类间散度矩阵（Between-Class Scatter Matrix） $S_B$

衡量类别之间的分布差异：

$S_B = \sum_{c=1}^{k} n_c (\mu_c - \mu)(\mu_c - \mu)^T$

$n_c$ ：第 c 类样本数
μ：所有样本的总体均值向量

上图展示了 线性判别分析（LDA）中两个关键概念的可视化：

左图为类内散度（Within-Class Scatter）：每个样本点通过细线连接到所属类别的中心点，体现类内样本之间的紧密程度。类内散度越小，类别内样本越集中，有助于分类准确性。
右图为类间散度（Between-Class Scatter）：展示各类别中心点相对于总体样本均值的偏离。类间散度越大，类别之间越容易区分。

在 LDA 中，目标是通过线性投影，使得类间散度最大化、类内散度最小化，从而提升降维后的分类性能。

三、LDA 的优化目标

最大化如下目标函数：

$J(w) = \frac{w^T S_B w}{w^T S_W w}$

求解使 J(w) 最大的投影向量 w，即为最优判别方向。

对于多类情况（>2 类），解出多个判别向量（最多 k-1 个）。

四、Python 实践（使用 Iris 数据集）

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
import matplotlib.pyplot as plt# 加载数据
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target# LDA 降维到 2D
lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
X_lda = lda.fit_transform(X, y)# 可视化
plt.figure(figsize=(6,5))
plt.scatter(X_lda[:, 0], X_lda[:, 1], c=y, cmap='rainbow', edgecolor='k')
plt.xlabel("判别轴1")
plt.ylabel("判别轴2")
plt.title("LDA: Iris数据集二维投影")
plt.grid(True)
plt.show()

五、PCA 与 LDA 对比

维度	PCA	LDA
监督学习	无监督	有监督
目标	保留最大方差	提高类别可分性
应用	可视化、压缩	分类前的预处理
降维数量	≤ 原始特征维度	≤ 类别数 - 1