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【codeforces 2070c】二分答案详解

二分答案转化成判定

对于任何问题，如果我们有了一个判定算法，那把解空间枚举并判定一遍，当然就可以得到解了。而当解空间具有单调性时，我们就可以使用二分法代替枚举。

考虑如下问题：

有$n$本数排成一行，已知第$i$本的厚度是$a_i$。把它们分成连续的$m$组，使 $T$最小化，其中$T$是厚度之和最大的一组的厚度。

考虑性质：是否存在一种划分方案，使得$T\le x$ 。也就是说，是否存在一种连续划分$m$组的方式，使得每组厚度都小于等于$x$。若$f(x)=true$，则$f(x+1)=true$。满足单调性，可以二分。

请大家体会这里的性质为什么是$\le x$，而不是等于$x$。只要这样，当$f(x)=true$时，可以推得$f(x+1)=true$；因为小于等于$x$成立，小于等于$x+1$必然成立。

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Problem - C - Codeforces

给定$n$个单元格组成的长条，初始时所有单元格都是红色。每次操作，都可以选择一段连续的单元格并将其涂成蓝色。对于每个单元格，给出所有操作后指定的颜色：红色或蓝色。现规定只能进行$k$次操作。显然，不可能总是在$k$次操作中完成满足所有要求。因此，每个单元格都有一个惩罚值。如果单元格在所有操作后的颜色是错误的，惩罚值就会生效。定义最终的惩罚值是是所有单元格生效的惩罚值中最大的。若没有生效的，则为$0$。问最小的最终惩罚值是多少？

考虑二分答案。性质：是否存在一种合法的涂色方案，使得惩罚值小于等于$x$？将该性质记为$f(x)$

若存在一种合法的涂色方案使得惩罚值小于等于$x$，就存在一种合法的涂色方案使得惩罚值小于等于$x+1$。即，若$f(x)=true$则$f(x+1)=true$。该性质单调，可以二分。

该性质可以理解为：如果一个单元格的惩罚值小于等于$x$，我们无需关心该单元格的颜色是否正确。如果一个单元格的惩罚值大于$x$，我们就必须将该单元格涂成正确的颜色，否则，惩罚值将会被该惩罚值更新。按以上策略考虑，操作次数为$res$。最终检验$res\le k$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
#define endl "\n"#define x first
#define y second
#define int LLconst int N = 3e5 + 10;
string str;
int n, k, a[N];void solve() {cin >> n >> k >> str;str = " "  + str;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];int l = 0, r = *max_element(a + 1, a + n + 1);auto check = [&](int mid) -> bool {vector<pair<int, int>> op;for (int i = 1; i <= n; i ++) {if (a[i] <= mid);else {if (str[i] == 'R') op.push_back({i, 0});else op.push_back({i, 1});}}int res = 0, i = 0, last = -1;while (1) {if (op[i].y == 1) {if (last == -1) last = op[i].x;i ++;}else if (op[i].y == 0) {if (last == -1);else res += 1;last = -1;i ++;}if (i >= op.size()) {if (last != -1) res ++;break;}}return res <= k;};while (l < r) {int mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}cout << r << endl;
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int t; cin >> t;while (t --) solve();return 0;
}

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102. 最佳牛围栏 - AcWing题库

给定正整数数列$a$，求一个平均数最大的，长度不小于$L$的连续字段

考虑性质：是否存在一种合法的方案(长度不小于$L$)，使得平均值大于等于$x$

若$f(x)=true$，则$f(x^{\prime })=true,x^{\prime }\le x$；若$f(x)=false$，则$f(x^{\prime })=false,x^{\prime }\ge x$

可以二分。

若将$a$中所有数减去平均数$x$，则判断是否存在合法字段和非负。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
#define endl "\n"const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
double a[N], t[N];bool check(double mid) {t[0] = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++) {t[i] = a[i] - mid;}for (int i = 1; i <= n; i ++) {t[i] += t[i - 1];}double minv = 1e18;for (int i = 0, j = m; j <= n; j ++, i ++) {minv = min(minv, t[i]);if (t[j] - minv >= 0) return true;}return false;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];double l = 0, r = 1e18;while (r - l > 1e-5) {double mid = (l + r) / 2;if (check(mid)) l = mid;else r = mid;}cout << (int)(r * 1000) << endl;return 0;
}