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本文我们通过两个简化的例子，展示如何从前向传播、损失计算，到反向传播推导梯度，再到参数更新，完整地描述卷积层的参数学习过程。

一、例子一

我们构造一个非常简单的卷积神经网络，其结构仅包含一个卷积层和一个输出（不使用激活函数，为了便于数学推导），损失函数采用均方误差（MSE）。

1. 设定问题

输入数据
假设输入为一幅小的灰度图像 X：

例如，令

卷积核
使用一个 2×2 的卷积核 W：

并设有偏置 b。

卷积操作
采用“valid”卷积（不填充），在这种情况下，由于输入和核大小都为2×2，卷积操作仅得到一个输出标量 O：

O=(w1⋅x11+w2⋅x12+w3⋅x21+w4⋅x22)+b.

我们为了简化，不使用激活函数（即线性激活），这样前向计算就很直观。

目标输出
设定目标值为 y（比如标签值），假设 y=10。

损失函数
我们使用均方误差（MSE）：

2. 前向传播计算

代入示例数据：

• 初始假设卷积核权重和偏置（假设初始值为）：

计算输出 O：

损失：

3. 梯度推导（反向传播）

我们需要计算损失 L 关于每个参数的梯度，即

步骤1：计算损失对输出 O 的梯度

由

有

代入数据：O−y=4.5−10=−5.5.

步骤2：计算输出 O 关于各参数的梯度

步骤3：链式法则计算损失对各参数的梯度

根据链式法则：

代入数值：

4. 参数更新（梯度下降）

设定学习率 η，例如 η=0.01，则更新规则为：

更新后的参数：

更新后，新的卷积核参数为：

5. 训练过程总结

整个训练过程如下：

1. 前向传播：对输入图像进行卷积计算，得到输出 O。
2. 计算损失：利用损失函数（MSE）计算模型输出与目标值之间的误差 L。
3. 反向传播：根据链式法则计算损失对各参数（卷积核权重和偏置）的梯度。
4. 参数更新：使用梯度下降（或其他优化算法）更新参数，向降低损失的方向调整。
5. 迭代训练：重复上述步骤，遍历整个训练数据集，直到损失收敛或达到设定的迭代次数。

这个例子虽然非常简单（只有一个卷积层，一个输出单元），但它清楚展示了如何从前向传播计算输出、如何利用损失函数计算误差、如何通过反向传播推导每个参数的梯度，并最终利用梯度下降更新参数。实际的卷积神经网络通常包含多个卷积层、池化层和全连接层，但每个部分的参数学习原理都是类似的——都是通过不断地计算梯度并更新参数，使得模型能够更好地拟合数据，从而实现准确的图像分类、检测等任务。

二、例子二

以下是一个具体的卷积神经网络（CNN）训练过程示例，详细展示前向传播、损失计算、反向传播、参数更新的每个步骤。我们以简单的数字识别任务为例，使用极简网络结构便于手动验证。

示例设定

1. 输入数据

• 输入图像：2×2的灰度图像，表示数字“1”

  

• 真实标签：y_true=[1,0]（二分类，索引0为“非1”，索引1为“是1”）

2. 网络结构

• 卷积层：1个2×2卷积核，无填充，步长=1

  • 初始权重：

  • 激活函数：ReLU（ReLU(x)=max⁡(0,x)）

• 全连接层：输入1个神经元 → 输出2个神经元

  • 初始权重：

  • 激活函数：Softmax（输出概率）

3. 超参数

• 学习率：η=0.1

• 损失函数：交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）

（一）前向传播（Forward Pass）

1. 卷积层计算

• 卷积操作：
  输入 X 与卷积核 W_conv 逐元素相乘后求和，加偏置：

  Conv输出=(0.2×0.5+0.8×(−0.3)+0.6×0.2+0.1×0.4)+0.1=0.1−0.24+0.12+0.04+0.1=0.12

• ReLU激活：

  Aconv=ReLU(0.12)=0.12

2. 全连接层计算

• 线性变换：

  

• Softmax激活：

  

  预测结果：类别1（“是1”）的概率为0.628，类别0为0.372。

（二）损失计算（Loss Calculation）

• 交叉熵损失：

  

（三）反向传播（Backward Pass）

1. 全连接层梯度

• Softmax梯度：

  

• 权重梯度：

  

• 偏置梯度：

  

2. 卷积层梯度

• ReLU梯度：

  

• 传递到卷积层的梯度：

  

• 卷积核权重梯度：

  

• 卷积层偏置梯度：

  

（四）参数更新（Parameter Update）

1. 全连接层参数

• 权重更新：

  

• 偏置更新：

  

2. 卷积层参数

• 权重更新：

  

• 偏置更新：

  

（五）更新后效果验证

1. 前向传播再计算

• 新卷积输出：

  Conv输出=(0.2×0.4933+0.8×(−0.3268)+0.6×0.1799+0.1×0.3967)+0.0665≈0.0987

  ReLU激活后：Aconv=0.0987

• 新全连接输出：

  

  Softmax概率：

  

2. 新损失值

New Loss=−log⁡(0.581)≈0.542(比原始损失0.465反而增大)

（六）结果分析

1. 损失未下降的原因：

   • 单步更新局限性：梯度下降可能需要多步迭代才能收敛。

   • 学习率过大：学习率 η=0.1 可能跳过最优解，可尝试更小值（如0.05）。

   • 网络容量限制：极简模型可能无法有效拟合复杂模式。

2. 参数学习方向验证：

   

（七）关键总结

• 前向传播：数据从输入到输出的逐层变换。

• 反向传播：通过链式法则计算梯度，明确参数调整方向。

• 参数更新：沿负梯度方向微调参数，逐步逼近最优解。

• 迭代优化：需多次迭代（Epoch）才能显著降低损失。

通过这个极简示例，可直观理解CNN参数学习的动态过程。实际训练中需结合批量数据、更复杂网络结构和优化策略（如Adam、学习率衰减）提升效果。