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计算 6 个产地到 8 个销地的最小费用运输问题。单位商品运价如表所示。

单位商品运价表

产地 \ 销地	\(B_1\)	\(B_2\)	\(B_3\)	\(B_4\)	\(B_5\)	\(B_6\)	\(B_7\)	\(B_8\)	产量
\(A_1\)	6	2	6	7	4	2	5	9	60
\(A_2\)	4	9	5	3	8	5	8	2	55
\(A_3\)	5	2	1	9	7	4	3	3	51
\(A_4\)	7	6	7	3	9	2	7	1	43
\(A_5\)	2	3	9	5	7	2	6	5	41
\(A_6\)	5	5	2	2	8	1	4	3	52
需求量	35	37	22	32	41	32	43	38

解 这是一个运输问题，总的产量大于总的需求量，是满足供应的运输问题。

设\x_{ij}(i = 1,2,\cdots,6;j = 1,2,\cdots,8)\表示产地\(A_i\)运到销地\(B_j\)的量，\(c_{ij}\)表示产地\(A_i\)到销地\(B_j\)的单位运价，\(d_j\)表示销地\(B_j\)的需求量，\(e_i\)表示产地\(A_i\)的产量。

目标函数是使总的运费最小化，即

\min\sum_{i = 1}^{6}\sum_{j = 1}^{8}c_{ij}x_{ij}\

约束条件分为两类。

(1) 需求量约束，\(B_j\)销地的需求量等于所有产地运到\(B_j\)销地的运量和，即

\sum_{i = 1}^{6}x_{ij}=d_j, \quad j = 1,2,\cdots,8.\

(2) 产量约束，\(A_i\)产地运到所有销地的运量和少于等于该地的产量，即

\sum_{j = 1}^{8}x_{ij}\leq e_i, \quad i = 1,2,\cdots,6.\

综上所述，建立如下线性规划模型：

开始手搓

C = reshape(cij, 1, []);
intcon = 1: length(C);
A = [];
for i = 1: 6A_single = zeros(1, length(C));A_single((i - 1) * 8 + 1: 8 * i) = 1;A = [A; A_single];
end
b = [60; 55; 51; 43; 41; 52];
Aeq = [];
for i = 1: 8Aeq_single = zeros(1, length(C));for j = 1: 6Aeq_single(8 * (j - 1) + i) = 1;endAeq = [Aeq; Aeq_single];
end
beq = [35; 37; 22; 32; 41; 32; 43; 38];
lb = zeros(1, length(C));
[x, y] = intlinprog(C, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, []);
solution = reshape(x, 6, 8);
disp("运输方案：")
disp(solution);
disp("总费用：");
disp(y);

看下答案：

Over！

题目来源：《数学建模算法与应用》——司守奎