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408答疑

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五、图的代码实操

图的存储

邻接矩阵

结构定义

typedef struct GraphMtx {int numV; // 顶点个数int numE; // 边的条数ElemType vList[MAX_VERTEX_SIZE]; // 顶点空间int edge[MAX_VERTEX_SIZE][MAX_VERTEX_SIZE]; // 边的矩阵
} GraphMtx;

初始化

• 初始化图的顶点数和边数为 0，并将邻接矩阵的所有元素设置为 0。

void initGraph(GraphMtx *g) {g->numV = 0;g->numE = 0;for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_SIZE; ++i) {for (int j = 0; j < MAX_VERTEX_SIZE; ++j)g->edge[i][j] = 0;}
}

插入顶点

• 在图中插入一个新顶点，如果顶点数超过最大值则不插入。

void insertVertex(GraphMtx *g, ElemType vertex) {if (g->numV >= MAX_VERTEX_SIZE)return;g->vList[g->numV] = vertex;g->numV++;
}

获取顶点位置

• 返回顶点在顶点列表中的位置，如果不存在则返回 -1。

int getPosVertex(GraphMtx *g, ElemType vertex) {for (int i = 0; i < g->numV; ++i) {if (g->vList[i] == vertex)return i;}return -1; // 没有要查找的顶点
}

在顶点 v1 和 v2 之间插入边

• 在图中插入一条从顶点 vertex1 到顶点 vertex2 的边。

void insertEdge(GraphMtx *g, ElemType vertex1, ElemType vertex2) {int v1 = getPosVertex(g, vertex1);int v2 = getPosVertex(g, vertex2);// 插入v1->v2边g->edge[v1][v2] = 1;// 若是无向图，则插入v2->v1边//g->edge[v2][v1] = 1;g->numE++;
}

获取第一个邻接顶点

• 获取给定顶点的第一个邻接顶点。

int getFirstNeighbor(GraphMtx *g, ElemType vertex) {int v = getPosVertex(g, vertex);if (v == -1)return -1; // 没有邻接顶点for (int j = 0; j < g->numV; ++j) {if (g->edge[v][j] == 1)return j; // 返回邻接顶点}return -1; // 没有邻接顶点
}

获取下一个邻接顶点

• 获取给定顶点的下一个邻接顶点。

int getNextNeighbor(GraphMtx *g, ElemType vertex1, ElemType vertex2) {int v1 = getPosVertex(g, vertex1);int v2 = getPosVertex(g, vertex2);if (v1 == -1 || v2 == -1)return -1;for (int j = v2 + 1; j < g->numV; ++j) {if (g->edge[v1][j] == 1)return j;}return -1;
}

显示图

• 显示图的邻接矩阵。

void showGraph(GraphMtx *g) {printf(" ");for (int i = 0; i < g->numV; ++i)printf(" %c", g->vList[i]);printf("\n");for (int i = 0; i < g->numV; ++i) {printf("%c ", g->vList[i]);for (int j = 0; j < g->numV; ++j) {printf("%d ", g->edge[i][j]);}printf("\n");}
}

邻接表

结构定义

typedef struct Edge {int dest; // 目标顶点的下标struct Edge *next; // 结点指针
} Edge;typedef struct Vertex {ElemType data;   // 顶点数据Edge *first; // 指向边的起始指针
} Vertex;typedef struct GraphLnk {int numV; // 顶点数int numE; // 边的条数Vertex nodeTable[MAX_VERTEX_SIZE];
} GraphLnk;

初始化图

• 初始化图的顶点数和边数为 0，并将邻接表的所有元素设置为 NULL。

void initGraph(GraphLnk *g) {g->numV = 0;g->numE = 0;for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_SIZE; ++i)g->nodeTable[i].first = NULL;
}

插入顶点

• 在图中插入一个新顶点，如果顶点数超过最大值则不插入。

void insertVertex(GraphLnk *g, ElemType vertex) {if (g->numV >= MAX_VERTEX_SIZE)return;g->nodeTable[g->numV].data = vertex;g->numV++;
}

获取顶点位置

• 返回顶点在顶点列表中的位置，如果不存在则返回 -1。

int getPosVertex(GraphLnk *g, ElemType vertex) {for (int i = 0; i < g->numV; ++i) {if (g->nodeTable[i].data == vertex)return i;}return -1; // 没有要查找的顶点
}

在顶点 v1 和 v2 之间插入边

• 在图中插入一条从顶点 vertex1 到顶点 vertex2 的边。

void insertEdge(GraphLnk *g, ElemType vertex1, ElemType vertex2) {int v1 = getPosVertex(g, vertex1);int v2 = getPosVertex(g, vertex2);// v1->v2Edge *e = (Edge*)malloc(sizeof(Edge));e->dest = v2;e->next = g->nodeTable[v1].first;g->nodeTable[v1].first = e;// 	若是无向图，则插入v2->v1边//e = (Edge*)malloc(sizeof(Edge));//e->dest = v1;//e->next = g->nodeTable[v2].first;//g->nodeTable[v2].first = e;g->numE++;
}

获取第一个邻接顶点

• 获取给定顶点的第一个邻接顶点。

int getFirstNeighbor(GraphLnk *g, ElemType vertex) {int v = getPosVertex(g, vertex);if (v == -1)return -1; // 没有邻接顶点if (g->nodeTable[v].first != NULL)return g->nodeTable[v].first->dest;return -1; // 没有邻接顶点
}

获取下一个邻接顶点

• 获取给定顶点的下一个邻接顶点。

int getNextNeighbor(GraphLnk *g, ElemType vertex1, ElemType vertex2) {int v1 = getPosVertex(g, vertex1);int v2 = getPosVertex(g, vertex2);if (v1 == -1 || v2 == -1)return -1;Edge *p = g->nodeTable[v1].first;while (p->dest != v2)p = p->next;p = p->next;if (p != NULL)return p->dest;return -1;
}

显示图

• 显示图的邻接表。

void showGraph(GraphLnk *g) {for (int i = 0; i < g->numV; ++i) {printf("%d %c : ", i, g->nodeTable[i].data);Edge *p = g->nodeTable[i].first;while (p != NULL) {printf("%d->", p->dest);p = p->next;}printf("Nil.\n");}
}

图的遍历

深度优先遍历

算法思想

深度优先遍历（DFS）是一种用于遍历或搜索图或树的算法。该算法使用栈（显式或递归）来实现非递归约的遍历过程。算法从图中的某一顶点开始，沿着路径深入访问尽可能远的顶点，直到不能再深入为止，然后回溯并访问其他路径。

算法步骤

1. 访问起始顶点：选择图中的某一顶点作为起始点，并标记为已访问。
2. 访问邻接顶点：访问该顶点的所有未被访问的邻接顶点，对每个邻接顶点递归地调用DFS。
3. 回溯：当当前路径无法继续深入时，回溯到最近的已访问顶点，检查是否有其他未访问的邻接顶点。
4. 重复过程：重复上述过程，直到图中所有顶点都被访问。

算法特点

• DFS 相当于二叉树中的前序遍历。
• 使用临时空间来标记结点是否被访问过。
• 适用于图的连通性检测、拓扑排序等场景。

邻接矩阵

void DFS(GraphMtx *g, ElemType vertex) {printf("%c->", vertex);int v = getPosVertex(g, vertex);visit[v] = 1; // 标记顶点int w = getFirstNeighbor(g, vertex);while (w != -1) {if (!visit[w]) {DFS(g, g->vList[w]);}w = getNextNeighbor(g, g->vList[v], g->vList[w]); //(g, v1, v2)}
}

邻接表

void DFS(GraphLnk *g, ElemType vertex) {printf("%c->", vertex);int v = getPosVertex(g, vertex);visit[v] = 1; // 标记顶点int w = getFirstNeighbor(g, vertex);while (w != -1) {if (!visit[w]) {DFS(g, g->nodeTable[w].data);}w = getNextNeighbor(g, g->nodeTable[v].data, g->nodeTable[w].data); //(g, v1, v2)}
}

广度优先遍历

算法思想

1. 初始化：

   • 标记起始顶点为已访问。
   • 将起始顶点入队。

2. 遍历队列：当队列不为空时，执行以下操作。

   • 从队列中取出一个顶点。
   • 访问该顶点的所有未访问过的邻接顶点。
   • 将这些邻接顶点标记为已访问，并加入队列。

3. 重复步骤2，直到队列为空，即所有可达顶点都被访问。

邻接矩阵

void BFS(GraphMtx *g, ElemType vertex) {printf("%c->", vertex);int v = getPosVertex(g, vertex);visit[v] = 1;int Q[MAX_VERTEX_SIZE];int front = 0, rear = 0;// 入队Q[rear++] = v;while (front != rear) { // 队列不空v = Q[front++]; // 出队并保存顶点int w = getFirstNeighbor(g, g->vList[v]);while (w != -1) {if (!visit[w]) {printf("%c->", g->vList[w]);visit[w] = 1;Q[rear++] = w;}w = getNextNeighbor(g, g->vList[v], g->vList[w]);}}
}

邻接表

void BFS(GraphLnk *g, ElemType vertex) {printf("%c->", vertex);int v = getPosVertex(g, vertex);visit[v] = 1;int Q[MAX_VERTEX_SIZE];int front = 0, rear = 0;// 入队Q[rear++] = v;while (front != rear) { // 队列不空v = Q[front++]; // 出队并保存顶点int w = getFirstNeighbor(g, g->nodeTable[v].data);while (w != -1) {if (!visit[w]) {printf("%c->", g->nodeTable[w].data);visit[w] = 1;Q[rear++] = w;}w = getNextNeighbor(g, g->nodeTable[v].data, g->nodeTable[w].data);}}
}

图的应用

BFS算法求解单源最短路径问题

1. 初始化：

   • 设置所有顶点的最短路径长度为无穷大，起始顶点的距离为0。
   • 标记起始顶点为已访问。
   • 将起始顶点加入队列。

2. BFS遍历：当队列非空时，执行以下操作。

   • 从队列中取出一个顶点。
   • 遍历该顶点的所有未访问邻接顶点。
   • 更新邻接顶点的最短路径长度。
   • 标记邻接顶点为已访问。
   • 将邻接顶点加入队列。

3. 完成遍历：

   • 重复步骤2，直到队列为空。
   • 此时，数组d中存储的即为从起始顶点到所有可达顶点的最短路径长度。

void BFS_MIN_Distance(GraphMtx G, int u) {// d[i]表示从u到i结点的最短路径长度int d[MAX_VERTEX_SIZE]; int visited[MAX_VERTEX_SIZE]; // 访问标记数组Queue Q; // 定义队列Qfor (int i = 0; i < G.numV; ++i) {d[i] = ∞; // 初始化路径长度为无穷大visited[i] = FALSE; // 初始化所有顶点为未访问}d[u] = 0; // 起始顶点到自身的距离为0visited[u] = TRUE; // 标记起始顶点为已访问EnQueue(Q, u); // 将起始顶点入队while (!IsEmpty(Q)) { // BFS算法主过程int v;DeQueue(Q, v); // 队头元素v出队for (int w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) {if (!visited[w]) { // w为v的尚未访问的邻接顶点visited[w] = TRUE; // 标记为已访问d[w] = d[v] + G.edge[v][w]; // 路径长度加v到w的边的权重EnQueue(Q, w); // 顶点w入队}}}
}

拓扑排序

• 使用栈实现图的拓扑排序，输出顶点的拓扑序列。

void topSort(GraphMtx *g) {// 统计每一个顶点的入度for (int j = 0; j < g->numV; ++j) {for (int i = 0; i < g->numV; ++i) {if (g->edge[i][j] == 1)inDegree[j]++;}}// 定义一个栈ElemType stack[MAX_VERTEX_SIZE] = { 0 };int top = 0;// 把入度为0的顶点入栈for (int i = 0; i < g->numV; ++i) {if (inDegree[i] == 0) // 入度为0stack[top++] = i;}for (int i = 0; i < g->numV; ++i) { // 排序输出每一个顶点if (top == 0) {printf("图有回路.\n");return;}int v = stack[--top];printf("%c->", g->vList[v]);int w = getFirstNeighbor(g, g->vList[v]);while (w != -1) {if (--inDegree[w] == 0)stack[top++] = w;w = getNextNeighbor(g, g->vList[v], g->vList[w]);}}
}

六、参考资料

鲍鱼科技课件

b站免费王道课后题讲解: link

网课全程班: link

26王道考研书