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引言
强化学习中贝尔曼方程的重要性就不说了，本文利用高中生都能看懂的数学知识推导贝尔曼方程。
回报
折扣回报 G t G_t Gt的定义为：
G t = R t + 1 + γ R t + 2 + γ 2 R t + 3 + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ γ k R t + k + 1 (1) G_t = R_{t+1} +\gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \gamma^k R_{t+k+1} \tag 1 Gt=Rt+1+γRt+2+γ2Rt+3+⋯=k=0∑∞γkRt+k+1(1)
注意 G t G_t Gt描述的是一条轨迹上的结果，也就是从某个时刻 t t t开始，在这条轨迹上，未来累积获得的奖励。
价值函数
状态价值函数表示从某个状态 s s s开始，智能体能获得的期望回报。
V π ( s ) = E [ G t ∣ S t = s ] (2) V^\pi(s) = \Bbb E[G_t|S_t=s] \tag 2 Vπ(s)=E[Gt∣St=s](2)
意思是
- 从状态 s s s出发
- 遵循策略 π \pi π行动
- 未来累计获得的回报 G t G_t Gt的期望值
描述的是很多条轨迹的回报的平均值。
状态价值函数是针对所有状态的，强化学习的环境可能有成千上万个状态，我们一开始并不知道每个状态的价值。
所以，需要一种方法来求出 V π ( s ) V^\pi(s) Vπ(s)。
这种方法就是贝尔曼方程。
贝尔曼方程
状态价值函数
价值函数通常通过贝尔曼方程来递归定义，它为价值函数提供了一种递推的方式。
我们来一步一步推导理解它。
回顾一下状态价值函数的定义：
V π ( s ) = E [ G t ∣ S t = s ] V^\pi(s) = \Bbb E[G_t|S_t=s] Vπ(s)=E[Gt∣St=s]
其中 G t G_t Gt可以展开为：
G t = R t + 1 + γ R t + 2 + γ 2 R t + 3 + ⋯ = R t + 1 + γ G t + 1 (3) G_t =R_{t+1} +\gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \cdots = R_{t+1} + \gamma G_{t+1} \tag 3 Gt=Rt+1+γRt+2+γ2Rt+3+⋯=Rt+1+γGt+1(3)
其中 G t + 1 G_{t+1} Gt+1是依赖于 t + 1 t+1 t+1时刻的状态 S t + 1 S_{t+1} St+1的未来回报。
我们得到：
V π ( s ) = E [ R t + 1 + γ G t + 1 ∣ S t = s ] (4) V^\pi(s) = \Bbb E[R_{t+1} + \gamma G_{t+1}|S_t=s] \tag 4 Vπ(s)=E[Rt+1+γGt+1∣St=s](4)
利用期望的可加性我们继续展开：
E [ R t + 1 + γ G t + 1 ∣ S t = s ] = E [ R t + 1 ∣ S t = s ] + E [ γ G t + 1 ∣ S t = s ] (5) \Bbb E[R_{t+1} + \gamma G_{t+1}|S_t=s] = \Bbb E[R_{t+1} |S_t=s] + \Bbb E[ \gamma G_{t+1}|S_t=s] \tag 5 E[Rt+1+γGt+1∣St=s]=E[Rt+1∣St=s]+E[γGt+1∣St=s](5)
上式得到了两项，我们分别来推导。先看第一项。
标准的奖励函数形式为：
R ( s , a , s ′ ) (6) R(s,a,s^\prime) \tag 6 R(s,a,s′)(6)
即奖励跟当前状态、采取的动作和下一个状态有关。假设奖励的取值是有限的 r ∈ R r \in \mathcal R r∈R，那么第一项可以写成：
E [ R t + 1 ∣ S t = s ] = ∑ r ∈ R r ⋅ p ( r ∣ s ) (7) \Bbb E[R_{t+1} |S_t=s] = \sum_{r \in \mathcal R} r \cdot p(r|s) \tag 7 E[Rt+1∣St=s]=r∈R∑r⋅p(r∣s)(7)
我们可以根据条件边缘化(可以简单地把公共条件 s s s遮住来理解)把其中的 p ( r ∣ s ) p(r|s) p(r∣s)写成标准形式：
p ( r ∣ s ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A p ( s ′ , a , r ∣ s ) (8) p(r|s) = \sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} p(s^\prime, a, r|s)\tag 8 p(r∣s)=s′∈S∑a∈A∑p(s′,a,r∣s)(8)
这里解释一下条件边缘化，回顾条件概率定义：
p ( A ∣ B ) = p ( A , B ) p ( B ) (S1.1) p(A|B) = \frac{p(A,B)}{p(B)} \tag{S1.1} p(A∣B)=p(B)p(A,B)(S1.1)
即：
p ( A , B ) = p ( A ∣ B ) p ( B ) (S1.2) p(A,B) = p(A|B)p(B) \tag {S1.2} p(A,B)=p(A∣B)p(B)(S1.2)
把 p ( s ′ , a , r ∣ s ) p(s^\prime, a, r|s) p(s′,a,r∣s)展开，根据条件概率定义有：
p ( s ′ , a , r ∣ s ) = p ( s ′ , a , r , s ) p ( s ) (S1.3) p(s^\prime, a, r|s) = \frac{p(s^\prime, a, r,s)}{p(s)} \tag{S1.3} p(s′,a,r∣s)=p(s)p(s′,a,r,s)(S1.3)
边缘化的基本公式告诉我们：
p ( r , s ) = ∑ s ′ , a p ( s ′ , a , r , s ) (S1.4) p(r,s) = \sum_{s^\prime, a} p(s^\prime, a, r, s) \tag {S1.4} p(r,s)=s′,a∑p(s′,a,r,s)(S1.4)
而 p ( r ∣ s ) p(r|s) p(r∣s)可以写成：
p ( r ∣ s ) = p ( r , s ) p ( s ) (S1.5) p(r|s) = \frac{p(r,s)}{p(s)} \tag {S1.5} p(r∣s)=p(s)p(r,s)(S1.5)
把(S1.4)带入上式：
p ( r ∣ s ) = ∑ s ′ , a p ( s ′ , a , r , s ) p ( s ) = ∑ s ′ , a p ( s ′ , a , r ∣ s ) p ( s ) p ( s ) = ∑ s ′ , a p ( s ′ , a , r ∣ s ) (S1.6) \begin{aligned} p(r|s) &= \frac{ \sum_{s^\prime, a} p(s^\prime, a, r, s)}{p(s)} \\ &= \frac{ \sum_{s^\prime, a} p(s^\prime, a, r|s)p(s)}{p(s)} \\ &= \sum_{s^\prime, a} p(s^\prime, a, r|s) \end{aligned} \tag {S1.6} p(r∣s)=p(s)∑s′,ap(s′,a,r,s)=p(s)∑s′,ap(s′,a,r∣s)p(s)=s′,a∑p(s′,a,r∣s)(S1.6)
针对(8)我们可以拆出策略 p ( a ∣ s ) = π ( a ∣ s ) p(a|s)=\pi(a|s) p(a∣s)=π(a∣s)：
p ( r ∣ s ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A p ( s ′ , a , r ∣ s ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A p ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) (9) p(r|s) = \sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} p(s^\prime, a, r|s)= \sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} p(a|s)p(s^\prime, r|s,a) = \sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s)p(s^\prime, r|s,a) \tag 9 p(r∣s)=s′∈S∑a∈A∑p(s′,a,r∣s)=s′∈S∑a∈A∑p(a∣s)p(s′,r∣s,a)=s′∈S∑a∈A∑π(a∣s)p(s′,r∣s,a)(9)
合并回公式(7)：
E [ R t + 1 ∣ S t = s ] = ∑ r ∈ R r ⋅ p ( r ∣ s ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A r ⋅ π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) (10) \Bbb E[R_{t+1} |S_t=s] = \sum_{r \in \mathcal R} r \cdot p(r|s) = \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} r \cdot \pi(a|s)p(s^\prime, r|s,a) \tag{10} E[Rt+1∣St=s]=r∈R∑r⋅p(r∣s)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑r⋅π(a∣s)p(s′,r∣s,a)(10)
对于第二项 E [ γ G t + 1 ∣ S t = s ] = γ E [ G t + 1 ∣ S t = s ] \Bbb E[ \gamma G_{t+1}|S_t=s] = \gamma \Bbb E[ G_{t+1}|S_t=s] E[γGt+1∣St=s]=γE[Gt+1∣St=s]，其中
E [ G t + 1 ∣ S t = s ] = ∑ g g ⋅ p ( g ∣ s ) (11) \Bbb E[ G_{t+1}|S_t=s] = \sum_g g\cdot p(g|s) \tag{11} E[Gt+1∣St=s]=g∑g⋅p(g∣s)(11)
这里的 g g g代表的是 G t + 1 G_{t+1} Gt+1可能取到的每一个数值。和第一项一样，我们分解 p ( g ∣ s ) p(g|s) p(g∣s)：
p ( g ∣ s ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A p ( s ′ , r , a , g ∣ s ) (12) p(g|s) = \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} p(s^\prime,r,a,g|s) \tag{12} p(g∣s)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑p(s′,r,a,g∣s)(12)
将其分解为边缘部分：
p ( s ′ , r , a , g ∣ s ) = p ( s ′ , r , a ∣ s ) p ( g ∣ s ′ , r , a , s ) (13) p(s^\prime,r,a,g|s) = p(s^\prime,r,a|s)p(g|s^\prime,r,a,s) \tag{13} p(s′,r,a,g∣s)=p(s′,r,a∣s)p(g∣s′,r,a,s)(13)
这里分解的意思是在状态 s s s：
- 首先，做动作 a a a，跳到 s ′ s^\prime s′，得到奖励 r r r，这一整套事情的概率是 p ( s ′ , r , a ∣ s ) p(s^\prime,r,a|s) p(s′,r,a∣s)
- 然后，在这之后未来累积到的回报是 g g g，这个条件概率是 p ( g ∣ s ′ , r , a , s ) p(g|s^\prime,r,a,s) p(g∣s′,r,a,s)
两者乘起来就是整个一条链上
- 从 s s s
- 经过 a , s ′ , r a,s^\prime,r a,s′,r
- 最后回报是 g g g
这种分解是为了后面可以递归推导贝尔曼方程。
从公式(9)我们知道 p ( s ′ , r , a ∣ s ) = π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) p(s^\prime,r,a|s)=\pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a) p(s′,r,a∣s)=π(a∣s)p(s′,r∣s,a)，带入公式(13)：
p ( g ∣ s ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) p ( g ∣ s ′ , r , a , s ) (14) p(g|s) = \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a)p(g|s^\prime,r,a,s) \tag{14} p(g∣s)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑π(a∣s)p(s′,r∣s,a)p(g∣s′,r,a,s)(14)
基于马尔可夫性质，未来的动作和它们带来的奖励仅依赖于当前的状态，因此：
p ( g ∣ s ′ , r , a , s ) = p ( g ∣ s ′ ) (15) p(g|s^\prime,r,a,s) = p(g|s^\prime) \tag {15} p(g∣s′,r,a,s)=p(g∣s′)(15)
代入(14)得：
p ( g ∣ s ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) p ( g ∣ s ′ ) (16) p(g|s) = \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a)p(g|s^\prime) \tag{16} p(g∣s)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑π(a∣s)p(s′,r∣s,a)p(g∣s′)(16)
把上式代入公式(11)：
E [ G t + 1 ∣ S t = s ] = ∑ g g ⋅ p ( g ∣ s ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) ∑ g g ⋅ p ( g ∣ s ′ ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) V π ( s ′ ) (17) \begin{aligned} \Bbb E[ G_{t+1}|S_t=s] &= \sum_g g\cdot p(g|s) \\ &= \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a)\sum_g g\cdot p(g|s^\prime) \\ &=\sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a)V^\pi(s^\prime) \end{aligned} \tag{17} E[Gt+1∣St=s]=g∑g⋅p(g∣s)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑π(a∣s)p(s′,r∣s,a)g∑g⋅p(g∣s′)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑π(a∣s)p(s′,r∣s,a)Vπ(s′)(17)
这里利用了 ∑ g g ⋅ p ( g ∣ s ′ ) = E [ G t + 1 ∣ S t + 1 = s ′ ] = V π ( s ′ ) \sum_g g \cdot p(g|s^\prime) = \Bbb E[G_{t+1}|S_{t+1}=s^\prime] = V^\pi(s^\prime) ∑gg⋅p(g∣s′)=E[Gt+1∣St+1=s′]=Vπ(s′)，为从 s ′ s^\prime s′开始的期望总回报。
又 E [ γ G t + 1 ∣ S t = s ] = γ E [ G t + 1 ∣ S t = s ] \Bbb E[ \gamma G_{t+1}|S_t=s] =\gamma\Bbb E[ G_{t+1}|S_t=s] E[γGt+1∣St=s]=γE[Gt+1∣St=s]。把这两项的结果带入公式(4)中：
V π ( s ) = E [ R t + 1 + γ G t + 1 ∣ S t = s ] = E [ R t + 1 ∣ S t = s ] + E [ γ G t + 1 ∣ S t = s ] = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A r ⋅ π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) + ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A γ π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) V π ( s ′ ) = ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) p ( s ′ , r ∣ s , a ) ( r + γ V π ( s ′ ) ) = ∑ a ∈ A π ( a ∣ s ) ∑ r ∈ R ∑ s ′ ∈ S p ( s ′ , r ∣ s , a ) ( r + γ V π ( s ′ ) ) (18) \begin{aligned} V^\pi(s) &= \Bbb E[R_{t+1} + \gamma G_{t+1}|S_t=s] \\ &= \Bbb E[R_{t+1} |S_t=s] + \Bbb E[ \gamma G_{t+1}|S_t=s] \\ &= \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} r \cdot \pi(a|s)p(s^\prime, r|s,a) + \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \gamma\pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a)V^\pi(s^\prime) \\ &= \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S} \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s)p(s^\prime,r|s,a)(r + \gamma V^\pi(s^\prime)) \\ &= \sum_{a \in \mathcal A} \pi(a|s) \sum_{r \in \mathcal R}\sum_{s^\prime \in \mathcal S}p(s^\prime,r|s,a)\left(r + \gamma V^\pi(s^\prime) \right) \end{aligned} \tag{18} Vπ(s)=E[Rt+1+γGt+1∣St=s]=E[Rt+1∣St=s]+E[γGt+1∣St=s]=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑r⋅π(a∣s)p(s′,r∣s,a)+r∈R∑s′∈S∑a∈A∑γπ(a∣s)p(s′,r∣s,a)Vπ(s′)=r∈R∑s′∈S∑a∈A∑π(a∣s)p(s′,r∣s,a)(r+γVπ(s′))=a∈A∑π(a∣s)r∈R∑s′∈S∑p(s′,r∣s,a)(r+γVπ(s′))(18)
需要在状态空间 S \mathcal S S中的所有 s s s上应用该公式。
动作价值函数
同理可以推导出动作价值函数贝尔曼方程的递推式子。
q π ( s , a ) = E [ G t ∣ S t = s , A t = a ] (19) q_\pi(s,a) = \Bbb E[G_t|S_t=s, A_t=a] \tag{19} qπ(s,a)=E[Gt∣St=s,At=a](19)
q π ( s , a ) = E [ R t + 1 + γ G t + 1 ∣ S t = s , A t = a ] (20) q_\pi(s,a) = \Bbb E[R_{t+1} + \gamma G_{t+1}|S_t=s, A_t=a] \tag{20} qπ(s,a)=E[Rt+1+γGt+1∣St=s,At=a](20)
E [ R t + 1 ∣ S t = s , A t = a ] = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R r ⋅ p ( s ′ , r ∣ s , a ) (21) \Bbb E[R_{t+1} |S_t=s,A_t=a] = \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} r \cdot p(s^\prime, r|s,a) \tag{21} E[Rt+1∣St=s,At=a]=s′∈S∑r∈R∑r⋅p(s′,r∣s,a)(21)
E [ G t + 1 ∣ S t = s , A t = a ] = ∑ g g ⋅ p ( g ∣ s , a ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R ∑ g g ⋅ p ( s ′ , r , g ∣ s , a ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R ∑ g g ⋅ p ( s ′ , r ∣ s , a ) p ( g ∣ s ′ , r , s , a ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R ∑ g g ⋅ p ( s ′ , r ∣ s , a ) p ( g ∣ s ′ ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R p ( s ′ , r ∣ s , a ) ∑ g g ⋅ p ( g ∣ s ′ ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R p ( s ′ , r ∣ s , a ) V π ( s ′ ) (22) \begin{aligned} \Bbb E[G_{t+1}|S_t=s, A_t=a] &= \sum_g g\cdot p(g|s,a) \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} \sum_g g\cdot p(s^\prime,r,g|s,a) \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} \sum_g g\cdot p(s^\prime,r|s,a)p(g|s^\prime,r,s,a) \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} \sum_g g\cdot p(s^\prime,r|s,a)p(g|s^\prime) \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} p(s^\prime,r|s,a) \sum_g g\cdot p(g|s^\prime) \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} p(s^\prime,r|s,a) V^\pi(s^\prime) \end{aligned} \tag{22} E[Gt+1∣St=s,At=a]=g∑g⋅p(g∣s,a)=s′∈S∑r∈R∑g∑g⋅p(s′,r,g∣s,a)=s′∈S∑r∈R∑g∑g⋅p(s′,r∣s,a)p(g∣s′,r,s,a)=s′∈S∑r∈R∑g∑g⋅p(s′,r∣s,a)p(g∣s′)=s′∈S∑r∈R∑p(s′,r∣s,a)g∑g⋅p(g∣s′)=s′∈S∑r∈R∑p(s′,r∣s,a)Vπ(s′)(22)
q π ( s , a ) = E [ R t + 1 + γ G t + 1 ∣ S t = s , A t = a ] = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R r ⋅ p ( s ′ , r ∣ s , a ) + γ ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R p ( s ′ , r ∣ s , a ) V π ( s ′ ) = ∑ s ′ ∈ S ∑ r ∈ R p ( s ′ , r ∣ s , a ) ( r + γ V π ( s ′ ) ) (23) \begin{aligned} q_\pi(s,a) &= \Bbb E[R_{t+1} + \gamma G_{t+1}|S_t=s, A_t=a] \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} r \cdot p(s^\prime, r|s,a) + \gamma \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} p(s^\prime,r|s,a) V^\pi(s^\prime) \\ &= \sum_{s^\prime \in \mathcal S}\sum_{r \in \mathcal R} p(s^\prime,r|s,a) (r + \gamma V^\pi(s^\prime)) \end{aligned} \tag{23} qπ(s,a)=E[Rt+1+γGt+1∣St=s,At=a]=s′∈S∑r∈R∑r⋅p(s′,r∣s,a)+γs′∈S∑r∈R∑p(s′,r∣s,a)Vπ(s′)=s′∈S∑r∈R∑p(s′,r∣s,a)(r+γVπ(s′))(23)