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wzjs 2025/7/31 22:12:47

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最大正方形边长问题详解

一、问题描述

给定一个大小为 m×n 的矩阵 mat 和一个整数阈值 threshold，要求返回元素总和小于或等于阈值的正方形区域的最大边长；如果没有这样的正方形区域，则返回 0。

二、解题思路

前缀和矩阵的概念与构建

前缀和矩阵是一种用于快速计算子矩阵和的工具。我们构建一个 (m+1)×(n+1) 的前缀和矩阵 pre，其中 pre[i][j] 表示原矩阵左上角 (0,0) 到 (i-1,j-1) 的子矩阵元素之和。构建方法如下：

对于原矩阵的每个元素 mat[i][j]，其对应的前缀和矩阵元素 pre[i+1][j+1] 可以通过以下公式计算： pre[i+1][j+1] = mat[i][j] + pre[i][j+1] + pre[i+1][j] - pre[i][j]

迭代可能的正方形大小

从最大的可能正方形边长（由矩阵的较小维度决定）开始，逐步减小边长进行检查。对于每个可能的边长 k，遍历矩阵中所有可能的正方形位置，计算其元素和并判断是否满足条件。

计算正方形元素和

利用前缀和矩阵，可以快速计算任意正方形区域的元素和。对于以 (i,j) 为左上角、边长为 k 的正方形，其元素和可以通过以下公式计算： sum = pre[i + k][j + k] - pre[i][j + k] - pre[i + k][j] + pre[i][j]

三、详细代码实现

class Solution {public int maxSideLength(int[][] mat, int threshold) {int m = mat.length;if (m == 0) return 0;int n = mat[0].length;int[][] pre = new int[m + 1][n + 1];// 构建前缀和矩阵for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {pre[i + 1][j + 1] = mat[i][j] + pre[i][j + 1] + pre[i + 1][j] - pre[i][j];}}// 确定最大可能的正方形边长int minSide = Math.min(m, n);// 从大到小检查每个可能的正方形边长for (int k = minSide; k >= 1; k--) {// 遍历所有可能的正方形位置for (int i = 0; i <= m - k; i++) {for (int j = 0; j <= n - k; j++) {// 计算当前正方形的元素和int sum = pre[i + k][j + k] - pre[i][j + k] - pre[i + k][j] + pre[i][j];// 如果满足条件，返回当前边长if (sum <= threshold) {return k;}}}}// 如果没有找到满足条件的正方形，返回 0return 0;}
}

四、算法分析

时间复杂度

构建前缀和矩阵的时间复杂度为 O(mn)。对于每个可能的正方形边长 k，遍历矩阵的时间复杂度为 O((m - k + 1)(n - k + 1))。由于 k 最多为 min(m, n)，总的时间复杂度为 O(mn + min(m,n) * (m - k + 1)(n - k + 1)))，在最坏情况下为 O(mn^2) 或 O(nm^2)，取决于 m 和 n 的大小关系。

空间复杂度

前缀和矩阵的大小为 (m + 1)×(n + 1)，因此空间复杂度为 O(mn)。

五、详细讲解

前缀和矩阵的构建

前缀和矩阵的构建是本题的关键步骤之一。通过构建前缀和矩阵，我们可以将任意子矩阵和的计算时间从 O(k^2) 降低到 O(1)，其中 k 是子矩阵的边长。这对于多次计算子矩阵和的场景非常高效。

具体来说，前缀和矩阵 pre 的构建过程如下：

初始化一个 (m+1)×(n+1) 的矩阵 pre，其中 pre[0][0] = 0。
对于原矩阵的每个元素 mat[i][j]，计算 pre[i+1][j+1] = mat[i][j] + pre[i][j+1] + pre[i+1][j] - pre[i][j]。这个公式可以理解为：当前位置的前缀和等于上方的前缀和、左方的前缀和以及左上方的前缀和的差值，再加上当前位置的元素值。