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§1 集合的基数

一、集合的基数概念

集合的基数（Cardinality）表示集合中元素的数量。对于有限集合，基数就是集合元素的个数。对于无限集合，基数用来比较不同无限集合的“大小”。基数用符号$|A|$表示集合A的基数。

两个集合A和B的基数相同，当且仅当存在一个双射（bijection）f: A → B，即A和B之间存在一一对应关系。

二、映射（Mapping）与基数关系

映射在基数理论中扮演重要角色，尤其是双射、单射和满射：

• 单射（Injection）：如果存在单射f: A → B，则|A| ≤ |B|。
• 满射（Surjection）：如果存在满射f: A → B，则|A| ≥ |B|。
• 双射（Bijection）：如果存在双射f: A → B，则|A| = |B|。

小比喻.mp4：单射好比每个x只有一个老婆，换了x就换了y，每个y也只有一个老公，找不到宁可单着；满射好比定义f(x)=y,每个y都有x对应，没有找不到x的y，至于y找到了几个对象（原象），反正全都找到了。这叫满射；双射就是每个y都找到了x，而且是只有一个x与之对应，一切刚刚好。

通过构造特定映射，可以证明集合基数之间的关系。

三、常见集合的基数及证明

1.有限集合的基数

有限集合的基数直接等于其元素数量。例如，集合A = {1, 2, 3}的基数|A| = 3。

2.自然数集N的基数

自然数集N = {1, 2, 3, …}的基数为ℵ₀（阿列夫零），是最小的无限基数。

证明N与偶数集基数相同：
构造双射f: N → O，其中O为偶数集，定义为f(n) = 2n。由于f是双射，|N| = |O|。

3.整数集Z的基数

整数集Z的基数也是ℵ₀。

证明Z与N基数相同：
构造双射f: N → Z：
f(n) = n/2（若n为偶数）；
f(n) = -(n-1)/2（若n为奇数）。
此映射将自然数与整数一一对应。

4.有理数集Q的基数

有理数集Q的基数也是ℵ₀。

证明Q可数：
可以将有理数排列为二维表格（分子/分母），通过对角线法枚举所有有理数，构造与N的双射。
具体形式：Q={x:x=p/q} ，q∈Z, p∈Z+

5.实数集R的基数

实数集R的基数为𝔠（连续统基数），严格大于ℵ₀。

证明R不可数（康托尔对角线法）：
假设(0,1)区间实数可列，列举为r₁, r₂, r₃, …。
构造新实数d，其第i位与rᵢ的第i位不同。d不在列表中，矛盾。

6.幂集的基数

对于任何集合A，其幂集P(A)的基数为$2^{|A|}$。

证明|P(A)| > |A|（康托尔定理）：
假设存在双射f: A → P(A)。定义B = {x ∈ A | x ∉ f(x)}。B ∈ P(A)，但不存在a ∈ A使得f(a) = B，矛盾。

四、基数运算

基数运算遵循以下规则：

• |A × B| = |A| · |B|
• |A ∪ B| = |A| + |B|（若A ∩ B = ∅）
• $|A^B|=|A{|}^{|B|}$（$A^B$表示B到A的函数集）

对于无限基数：

• ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
• ℵ₀ · ℵ₀ = ℵ₀
• 2^ℵ₀ = 𝔠

§2 群、环、域

一、群的定义与性质

群是一个集合 ( G ) 配备一个二元运算 ( $\cdot$ )，满足以下四条公理：

• 封闭性：对任意 a, b $\in$ G ，有 a $\cdot$ b $\in$ G。
• 结合律：对任意 a, b, c $\in$ G ，有 (a $\cdot$ b) $\cdot$ c = a $\cdot$ (b $\cdot$ c) 。
• 单位元：存在 e $\in$ G ，使得对任意 a $\in$ G ，有 e $\cdot$ a = a $\cdot$ e = a 。
• 逆元：对任意 a $\in$ G ，存在 $a^{-1}\in G$，使得 $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ 。

常见群运算：

• 加法群（如整数集 ( $\mathbb{Z}$) 配加法）。
• 乘法群（如非零实数集 ( ${\mathbb{R}}^{\ast }$ ) 配乘法）。
• 置换群（对称群 ( $S_n$ )）。

二、环的定义与性质

环是一个集合 ( R ) 配备两个二元运算 ( + )（加法）和 ( $\cdot$ )（乘法），满足：

• (R, +) 是阿贝尔群（加法可交换）。
• (R, $\cdot$) 是半群（乘法封闭且结合）。
• 分配律：对任意 a, b, c $\in$ R ，有 a $\cdot$ (b + c) = a $\cdot$ b + a $\cdot$ c 和 (a + b) $\cdot$ c = a $\cdot$ c + b $\cdot$ c 。

常见环运算：

• 整数环 ( $\mathbb{Z}$ ) 配标准加法和乘法。
• 多项式环 ( $R[x]$ )。
• 矩阵环 ($M_n(R)$ )。

三、域的定义与性质

域是一个交换环 ( F ) 配备加法 ( + ) 和乘法 ( $\cdot$ )，且满足：

• (F, +) 是阿贝尔群。
• (F∖{0}F \setminus \{0\}F∖{0}, $\cdot$) 是阿贝尔群（乘法可交换且非零元有逆）。
• 分配律成立。

常见域运算：

• 有理数域 ( $\mathbb{Q}$ )。
• 实数域 ($\mathbb{R}$ ) 和复数域 ( $\mathbb{C}$)。
• 有限域 ( ${\mathbb{F}}_p$ )（p 为素数）。

四、直积与直和

直积（Direct Product）：
对群 ( $G_1$, $G_2$ )，其直积 ( $G_1\times G_2$ ) 定义为笛卡尔积配备逐点运算：
$$(g_1,g_2)\cdot (h_1,h_2)=(g_1\cdot h_1,g_2\cdot h_2).$$
适用于无限或有限多个群的构造。

直和（Direct Sum）：
对阿贝尔群（或模），直和 ( ${⨁}_{i\in I}{G}_i$) 定义为直积的子集，其中仅有限个分量非单位元。直和在无限情况下与直积不同，但有限时两者等价。

关键区别：

• 直积允许无限个非单位元分量，直和仅允许有限个。
• 在非阿贝尔群中通常只讨论直积。