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算法题目6 - 给定一个字符串，输出其最长的回文子串

1.问题描述

给定一个字符串，输出其最长的回文子串。
回文串特点：正向遍历输出和逆向遍历输出的结果一致。
例如：fabacaba,最长回文子串为abacaba。

输入：fabacaba
输出：abacaba
输入：gfabcdedcbe
输出：bcdedcb

2. 算法解决

2.1 暴力循环法

• 思路：找到输入字符串的所有子串，判定是否是回文串，如果是回文串，再比较长度，保存最长长度的回文子串。
• 时间复杂度：O(n^3)
• 空间复杂度：O(1)
• 代码如下：

public static String longestPalindrome1(String s) {// 存储结果String result = "";if (s == null || s.isEmpty()) {return result;}if (s.length() < 2) {return s;}// 存储长度int maxLength = 0;for (int i = 0; i < s.length(); i++) {for (int j = i + 1; j < s.length() + 1;j++) {String substring = s.substring(i, j);// 判断是否是回文if (isPalindrome(substring) && substring.length() > maxLength) {result = substring;maxLength = substring.length();}}}return result;}/*** 判断是否是回文* @param str* @return*/public static boolean isPalindrome(String str) {for (int i = 0;i < str.length() / 2; i++) {if (str.charAt(i) != str.charAt(str.length() - i - 1)) {return false;}}return true;}

2.2 中心扩展法(最优解)

• 思路：假设中心为某个字符或者某个字符和它右边的字符，通过扩展判断该字符序列是否为回文串。 处理奇偶长度回文，以单个字符为中心（奇），或以两个字符中间点为中心（偶）。
• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(1)
• 代码如下：

public static String longestPalindrome2(String s) {String result = "";if (s == null || s.length() < 1) {return "";}for (int i = 0; i < s.length(); i++) {// 奇数回文子串String str1 = dealOddOrEvenNumberStr(s, i, i);// 偶数回文子串String str2 = dealOddOrEvenNumberStr(s, i, i + 1);result = result.length() > str1.length() ? result : str1;result = result.length() > str2.length() ? result : str2;}return result;}/*** 奇偶回文子串处理* @param s* @param left* @param right* @return*/private static String dealOddOrEvenNumberStr(String s, int left, int right) {while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {left--;right++;}return s.substring(left + 1, right);}

2.3 动态规划法

• 思路：动态规划算法，最重要的是找到边界和动态转移方程。
  ①定义状态：dp[i][j]表示s[i…j]是否是回文串，标识字符串s从i到j是否是回文串(左闭右闭)。
  ②边界和状态转移方程：
  • dp[i][j] = true 当 i == j（单字符） 例如：a
  • dp[i][j] = (s[i]==s[j]) 当 j-i ==1（双字符） 例如：aa
  • dp[i][j] = (s[i]==s[j]) && dp[i+1][j-1]（多字符）例如：aba

③dp[i][j] = (s[i]==s[j]) && dp[i+1][j-1]解释：
假设现在的回文字符串为 abcba，i = 0, j=4, dp[i][j] = true,s[i] = s[j] = a。
那么去掉i、j上的两个字符后，就是bcb，仍然是一个回文串，相比于原来的字符串，i1 = 1 = i+1, j1 = 3 = j-1。
dp[i][j]为回文串的话，必须满足i <= j ,所以可以得出 i+1 <= j-1 —> j-i >= 2 ,即得 j-i < 2不能为状态转移方程求得，可以得出 dp[i][j]只有一个字符或者空串的情况，即是s[i] = s[j]时，一个字符的和空串一定是个回文串。

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)
• 代码如下：

public static String longestPalindromeDP3(String s) {if (s == null) {return "";}// 获取字符串长度int length = s.length();if (length < 2) {return s;}// 初始化dp数组boolean[][] dp = new boolean[length][length];// 初始化边界条件，单字符，肯定是回文串for (int i = 0; i < length; i++) {dp[i][i] = true;}// 回文最大长度 初始化为1 即默认单字符为回文串int maxLength = 1;// 回文起始位置int maxStart = 0;// 枚举子串的长度for (int len = 2; len <= length; len++) {for (int i = 0; i < length - len + 1; i++) {// 子串的结束位置int j = i + len - 1;// 判断是否为回文串if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {// 如果是回文串if (len == 2 || dp[i + 1][j - 1]) {// 更新回文串的起始位置和长度dp[i][j] = true;if (len > maxLength) {maxLength = len;maxStart = i;}}}}}// 返回最长回文子串return s.substring(maxStart, maxStart + maxLength);}
}

3. 测试

调用测试：

public class HwTest {public static void main(String[] args) {String s = "gfabcdedcbe";String result1 = longestPalindrome1(s);System.out.println("最长回文子串，暴力循环法结果：" + result1);System.out.println("=====================");String result2 = longestPalindrome2(s);System.out.println("最长回文子串，中心扩展法结果：" + result2);System.out.println("=====================");String result3 = longestPalindromeDP3(s);System.out.println("最长回文子串，动态规划_优化结果：" + result3);}}

• 暴力循环法输出结果：
  
• 中心扩展法输出结果：
  
• 动态规划法输出结果：