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题目

给定一个n行n列的矩阵，这个矩阵的每一行是递增有序的，求这个矩阵中第k小的元素。

解答

优解

基于二分查找和按行统计小于等于目标值的元素个数。算法的时间复杂度为，其中D是矩阵中元素值域的范围（即最大值与最小值的差），空间复杂度为（不包括输入矩阵）。

算法描述

1. 确定值域范围：

   • 计算矩阵中的最小值 min_val：取所有行首元素（即每行的第一个元素）的最小值，即 min_val = min(matrix[i][0] for i in range(n))。

   • 计算矩阵中的最大值 max_val：取所有行尾元素（即每行的最后一个元素）的最大值，即 max_val = max(matrix[i][n-1] for i in range(n))。

   • 初始化二分查找的左边界 left = min_val，右边界 right = max_val。

2. 二分查找第 k 小元素：

   • 当 left < right 时，执行循环：

     • 计算中间值 mid = (left + right) // 2（整数除法）。

     • 统计矩阵中小于等于 mid 的元素个数 count：

       • 对于每一行 i（因为行是递增有序），使用二分查找找到该行中最后一个小于等于 mid 的元素的列索引 j（即最大的 j 满足 matrix[i][j] <= mid）。则该行中小于等于 mid 的元素个数为 j+1（列索引从 0 开始）。

       • 对所有行的结果求和，得到 count。

     • 如果 count >= k，则第 k 小元素小于等于 mid，设置 right = mid。

     • 否则，第 k 小元素大于 mid，设置 left = mid + 1。

   • 循环结束后，left 即为第 k 小元素的值。

算法正确性

• 该算法通过二分查找值域，逐步缩小第 k 小元素可能存在的范围。

• 在每次迭代中，计算 count(mid)（小于等于 mid 的元素个数）与 k 比较，可以确定第 k 小元素位于左半区间还是右半区间。

• 最终，left 会收敛到矩阵中的一个实际元素，且满足是第 k 小元素（详见示例验证）。

时间复杂度分析

• 确定 min_val 和 max_val 需要时间。

• 二分查找的迭代次数为，其中D=max_val−min_val。

• 在每次迭代中，统计 count(mid) 需要对每一行进行一次二分查找（每行时间复杂度），因此每次迭代的时间复杂度为。

• 总时间复杂度为。

示例说明

考虑一个 2×2 矩阵：

元素集合为 {1,2,3,5}，排序后为 [1,2,3,5]。

• 求第 k=2 小元素：

  • min_val = min(1, 2) = 1，max_val = max(3, 5) = 5，left = 1, right = 5。

  • 第一次迭代：mid = (1 + 5) // 2 = 3，count(<=3)：

    • 第一行：元素 [1,3]，1≤3，3≤3，个数为 2。

    • 第二行：元素 [2,5]，2≤3，5>3，个数为 1。

    • count = 2 + 1 = 3 >= 2，设置 right = 3。

  • 第二次迭代：left = 1, right = 3，mid = (1 + 3) // 2 = 2，count(<=2)：

    • 第一行：1≤2，3>2，个数为 1。

    • 第二行：2≤2，5>2，个数为 1。

    • count = 1 + 1 = 2 >= 2，设置 right = 2。

  • 第三次迭代：left = 1, right = 2，mid = (1 + 2) // 2 = 1，count(<=1)：

    • 第一行：1≤1，3>1，个数为 1。

    • 第二行：2>1，个数为 0。

    • count = 1 < 2，设置 left = 1 + 1 = 2。

  • 循环结束，left = 2，返回 2（正确，第 2 小元素是 2）。

代码实现

def kthSmallest(matrix, k):n = len(matrix)# 初始化二分查找的边界left = matrix[0][0]              # 最小值：矩阵左上角right = matrix[n-1][n-1]         # 最大值：矩阵右下角# 二分查找while left < right:mid = (left + right) // 2count = 0                    # 统计小于等于mid的元素个数col = n - 1                 # 从每行的末尾开始检查# 遍历每一行for i in range(n):# 在当前行中，从右向左找到第一个小于等于mid的元素while col >= 0 and matrix[i][col] > mid:col -= 1count += (col + 1)       # 该行中小于等于mid的元素个数# 调整二分查找边界if count >= k:right = midelse:left = mid + 1return left# 示例测试
if __name__ == "__main__":matrix1 = [[1, 3], [2, 5]]print(kthSmallest(matrix1, 2))  # 输出: 2matrix2 = [[1, 5, 9], [10, 11, 13], [12, 13, 15]]print(kthSmallest(matrix2, 4))  # 输出: 10matrix3 = [[-5]]print(kthSmallest(matrix3, 1))  # 输出: -5

暴力解

忽略行递增条件，直接全排序：

def kth_smallest(matrix, k):n = len(matrix)# 提取所有元素到一维列表flat_list = []for i in range(n):for j in range(n):flat_list.append(matrix[i][j])# 排序列表flat_list.sort()# 返回第k小的元素（k从1开始，索引为k-1）return flat_list[k-1]