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动态规划与滚动数组优化：LeetCode 1137.第 N 个泰波那契数

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1. 题目链接

LeetCode 1137. 第 N 个泰波那契数
题目要求：计算第 n 个泰波那契数（Tribonacci Number）。泰波那契数列的定义如下：

• T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1
• Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2（当 n ≥ 0 时）

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2. 题目描述

• 输入：整数 n（例如 n = 4）。
• 输出：第 n 个泰波那契数（例如 T4 = 4）。
• 约束条件：
  • 0 ≤ n ≤ 37
  • 结果保证在 32 位整数范围内（即 ≤ 2^31 - 1）。

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3. 示例分析

示例 1：
输入：n = 4
输出：4
分步计算：

• T0 = 0
• T1 = 1
• T2 = 1
• T3 = T0 + T1 + T2 = 0 + 1 + 1 = 2
• T4 = T1 + T2 + T3 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：
输入：n = 25
输出：1389537

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4. 算法思路

动态规划与滚动数组优化

1. 问题特性：

   • 泰波那契数的递推公式依赖前三个状态，适合用动态规划解决。
   • 直接递归会重复计算子问题（时间复杂度 O(3^n)），需优化。

2. 动态规划递推：

   • 定义状态 dp[i] 表示第 i 个泰波那契数。
   • 递推公式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]。

3. 滚动数组优化：

   • 观察发现，计算 dp[i] 仅需前三个值 dp[i-1]、dp[i-2]、dp[i-3]。
   • 用三个变量 dp1、dp2、dp3 代替数组，空间复杂度从 O(n) 降为 O(1)。

具体步骤

1. 初始化：
   • T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1。
2. 递推计算：
   • 从 i = 3 到 n，依次更新当前值 tn = dp1 + dp2 + dp3。
   • 滚动更新变量：dp1 = dp2, dp2 = dp3, dp3 = tn。

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5. 边界条件与注意事项

1. 边界处理：

   • n = 0 时直接返回 0。
   • n = 1 或 n = 2 时直接返回 1。

2. 变量初始化顺序：

   • dp1、dp2、dp3 分别对应 T0、T1、T2。

3. 循环范围：

   • 若 n < 3，直接返回初始值，无需进入循环。

4. 整数溢出问题：

   • 题目保证结果在 32 位整数范围内，无需额外处理。

5. 时间复杂度：

   • O(n)，遍历 n-2 次。

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6. 代码实现与逐行解析

class Solution {
public:int tribonacci(int n) {if (n == 0) return 0;        // 边界条件：T0 = 0if (n == 1 || n == 2) return 1; // 边界条件：T1=T2=1// 初始化滚动数组（对应 T0, T1, T2）int dp1 = 0, dp2 = 1, dp3 = 1, tn = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {tn = dp1 + dp2 + dp3;    // 计算当前值 T_i// 滚动更新：dp1 -> T_{i-2}, dp2 -> T_{i-1}, dp3 -> T_idp1 = dp2;dp2 = dp3;dp3 = tn;}return tn; // 返回 T_n}
};

代码解析

1. 边界处理：

   • n = 0、n = 1、n = 2 直接返回预定义值。

2. 变量初始化：

   • dp1 = 0（对应 T0），dp2 = 1（对应 T1），dp3 = 1（对应 T2）。

3. 循环递推：

   • 从 i = 3 开始，计算 tn = dp1 + dp2 + dp3（即 T_i）。
   • 更新变量：
     • dp1 更新为原来的 dp2（即 T_{i-2} = T_{i-1}）。
     • dp2 更新为原来的 dp3（即 T_{i-1} = T_i）。
     • dp3 更新为 tn（即 T_i）。

4. 返回值：

   • 循环结束时，tn 即为 T_n。

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总结

通过滚动数组优化，将动态规划的空间复杂度从 O(n) 降至 O(1)，同时保持了时间效率。该算法高效解决了泰波那契数的计算问题，适用于大规模 n 的场景（尽管题目约束 n ≤ 37）。此方法可推广至其他类似递推问题（如斐波那契数列、爬楼梯问题等），核心在于识别状态依赖关系并优化空间使用。