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代数基本定理

多项式 $f(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$（其中 $n>1$ 且 $a_n,a_0\ne 0$）在复数域内有根。

证明步骤

1. 假设 $f(z)$ 无根

假设 $f(z)$ 在复数域内无根，即对于所有 $z\in \mathbb{C}$，都有 $f(z)\ne 0$。因此，$|f(z)|>0$ 对于所有 $z\in \mathbb{C}$ 成立。

2. 存在最小值

由于 $|f(z)|$ 是整个复平面上的连续函数，并且 ${\lim }_{z\to \infty }|f(z)|=+\infty$，根据极值定理，$|f(z)|$ 在 $\mathbb{C}$ 上存在最小值。设 $z_0$ 是使得 $|f(z_0)|$ 取得最小值 $s$ 的点，即：

$$s=\underset{z\in \mathbb{C}}{\min }|f(z)|=|f(z_0)|$$

3. 定义新多项式 $g(z)$

令 $f(z_0)=s{e}^{i{\theta }_0}$。定义新多项式 $g(z)=f(z+z_0)e^{-i{\theta }_0}$。则有：

$$g(0)=f(z_0)e^{-i{\theta }_0}=s$$

且 $g(z)$ 是一个在 $z=0$ 处使得 $|g(z)|$ 取得最小值 $s$ 的多项式。

4. 展开 $g(z)$

将 $g(z)$ 展开为：

$$g(z)=b_n{z}^n+b_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +b_k{z}^k+s$$

其中 $b_k\ne 0$ 且 $k\ge 1$（因为 $g(z)$ 是一个多项式，且 $g(0)=s$）。

5. 选择 $w$ 使得 $|g(w)|<s$

令 $b_k=|b_k|e^{i{\theta }_k}$。考虑 $w$ 使得 $w=r{e}^{i\theta }$ 且 $r$ 是一个很小的正实数。则：

$$g(w)=s+|b_k|r^k{e}^{i(k\theta +{\theta }_k)}+h(r)r^{k+1}$$

其中 $h(r)$ 是一个关于 $r$ 的多项式。

$$令M=\underset{r\in (0,1]}{\max }|h(r)|\ge 0$$

6. 计算模长

当 $r\to 0^{+}$ 时：

$$|g(w)|=|s+h(r)r^{k+1}+|b_k|r^k{e}^{i(k\theta +{\theta }_k)}|\le |s+|b_k|r^k{e}^{i(k\theta +{\theta }_k)}|+M{r}^{k+1}$$

选择 $\theta =-\frac{{\theta }_k}{k}-\frac{\pi }{k}$，则：

$$k\theta +{\theta }_k=-\pi$$

因此：

$$|g(w)|\le s-|b_k|r^k+M{r}^{k+1}<s$$

这与 $|g(z)|$ 在 $z=0$ 处取得最小值 $s$ 矛盾。