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一、为什么需要时间复杂度？

1.1 程序性能的度量

• 问题：如何衡量不同算法的效率？

  // 示例1：求1+2+...+n
  int sum1(int n) {  // 时间复杂度 O(n)int total = 0;for(int i=1; i<=n; i++) total += i;return total;
  }int sum2(int n) {  // 时间复杂度 O(1)return n*(n+1)/2;
  }
  

• 结论：sum2 比 sum1 更高效（尤其当n很大时）

1.2 时间复杂度的定义

• 定义：算法执行时间随输入规模增长的增长率

• 特点：

  • 关注最坏情况下的时间消耗

  • 忽略常数项和低阶项（关注增长趋势）

  • 使用大O表示法（如 O(n²)）

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二、大O表示法核心规则

2.1 常见时间复杂度

复杂度	名称	示例代码
O(1)	常数复杂度	直接访问数组元素
O(log n)	对数复杂度	二分查找
O(n)	线性复杂度	遍历数组
O(n log n)	线性对数复杂度	快速排序
O(n²)	平方复杂度	双重循环（冒泡排序）
O(2ⁿ)	指数复杂度	暴力破解子集问题
O(n!)	阶乘复杂度	全排列问题

2.2 计算步骤

1. 确定输入规模（n）

2. 统计基本操作的执行次数

3. 保留最高阶项，去掉系数

示例：

for(int i=0; i<n; i++) {    // n次for(int j=0; j<n; j++)  // n次cout << i+j;        // 基本操作
}
// 总次数：n*n = n² → O(n²)

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三、C++代码复杂度分析

3.1 典型代码模式

1. 单循环

for(int i=0; i<n; i++) { // O(n)// 常数时间操作
}

2. 双重循环

for(int i=0; i<n; i++) {     // O(n²)for(int j=0; j<n; j++) {// 常数时间操作}
}

3. 递归

int factorial(int n) {  // O(n)if(n <= 1) return 1;return n * factorial(n-1);
}

3.2 复杂度陷阱

错误示例：

// 计算斐波那契数列（低效版）
int fib(int n) {        // O(2ⁿ)if(n <= 1) return n;return fib(n-1) + fib(n-2);
}

优化方案：

int fib(int n) {        // O(n)int a = 0, b = 1;for(int i=2; i<=n; i++) {int c = a + b;a = b;b = c;}return b;
}

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四、复杂度对比实验

4.1 不同复杂度的增长趋势

n	log n	n	n log n	n²	2ⁿ
10	3	10	30	100	1024
100	6	100	600	10^4	1.27e30
1000	9	1000	9000	10^6	1e301

4.2 实际运行时间对比

#include <iostream>
#include <chrono>
using namespace std;// O(n) 算法
void linear(int n) {for(int i=0; i<n; i++);
}// O(n²) 算法
void quadratic(int n) {for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++);
}int main() {int n = 10000;auto start = chrono::high_resolution_clock::now();linear(n);auto end = chrono::high_resolution_clock::now();cout << "O(n) 耗时：" << chrono::duration_cast<chrono::milliseconds>(end - start).count() << " ms" << endl;start = chrono::high_resolution_clock::now();quadratic(n);end = chrono::high_resolution_clock::now();cout << "O(n²) 耗时：" << chrono::duration_cast<chrono::milliseconds>(end - start).count() << " ms" << endl;
}

输出示例：

O(n) 耗时：0 ms
O(n²) 耗时：45 ms

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五、复杂度优化技巧

5.1 优化策略

1. 减少嵌套循环：用数学公式替代多重循环

2. 提前终止：利用break/continue减少不必要的循环

3. 空间换时间：使用哈希表（O(1)查找）

4. 算法选择：优先选择低复杂度算法（如快速排序 vs 冒泡排序）

5.2 案例分析

问题：查找数组中是否存在重复元素
低效方案：

bool containsDuplicate(vector<int>& nums) { // O(n²)for(int i=0; i<nums.size(); i++)for(int j=i+1; j<nums.size(); j++)if(nums[i] == nums[j]) return true;return false;
}

优化方案：

bool containsDuplicate(vector<int>& nums) { // O(n)unordered_set<int> s;for(int num : nums) {if(s.count(num)) return true;s.insert(num);}return false;
}

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六、实战练习

6.1 基础题

题目：分析以下代码的时间复杂度

for(int i=0; i<n; i++) {for(int j=0; j<i; j++) {cout << "Hello";}
}

答案：O(n²)（等差数列求和：1+2+...+n-1 = n(n-1)/2）

6.2 进阶题

题目：优化以下代码的复杂度

// 原始版本：O(n³)
int countTriplets(vector<int>& arr) {int count = 0;for(int i=0; i<arr.size(); i++)for(int j=i+1; j<arr.size(); j++)for(int k=j+1; k<arr.size(); k++)if(arr[i] + arr[j] + arr[k] == 0)count++;return count;
}

优化思路：

1. 先排序（O(n log n)）

2. 固定第一个元素，双指针查找后两个元素（O(n²)）

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七、复杂度速查表

算法类型	时间复杂度	适用场景
二分查找	O(log n)	有序数据查找
深度优先搜索	O(n)	树/图遍历
快速排序	O(n log n)	通用排序
Dijkstra算法	O((V+E) log V)	最短路径（稀疏图）
Floyd-Warshall	O(n³)	所有节点间最短路径

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课后作业：

1. 分析插入排序的时间复杂度（最好/最坏/平均）

2. 比较冒泡排序和选择排序的复杂度差异

3. 实现一个O(n log n)的排序算法（如归并排序）