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wzjs 2025/7/29 10:26:04

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线性规划问题解法

单纯形法、内点法（大M、两阶段法）、列生成法

有约束问题：拉格朗日对偶法

方法	时间复杂度	核心思想	优势场景	局限性
单纯形法	指数级（最坏）	凸多面体（可行域）的顶点之间迭代移动，逐步逼近最优解	中小规模、需灵敏度分析	高维问题效率骤降
内点法	多项式（O(n3.5)O(n3.5)）	从可行域内部逼近最优解，适合大规模问题。	大规模稠密问题、高精度需求	实现复杂，需处理数值稳定性
列生成法	伪多项式（依赖子问题）	列生成法基于主问题-子问题分解框架，结合对偶理论，初始仅包含部分变量，求解松弛后的线性规划问题。通过分析主问题的对偶变量，生成能改进目标函数的新变量	变量指数级增长的组合优化问题	子问题需高效求解，收敛速度不定

单纯形法中的大M法（Big M Method）和两阶段法（Two-Phase Method）是两种处理无初始基可行解的线性规划问题的技术，常用于解决包含等式约束或无法直接构造可行基的情况。

在目标函数中为人エ变量赋予一个极大正数 MM（最大化问题中系数为 −M−M，最小化问题中为 +M+M），迫使这些变量在优化过程中被排除（取值为0）。

第一阶段：构造辅助问题，目标是最小化人工变量的总和，找到初始基可行解；第二阶段：使用第一阶段的结果，求解原问题。

分支定界法、割平面法

方法	时间复杂度	核心思想	典型场景	局限性
分支定界法	指数级（最坏），依赖剪枝效率	将问题分解为子问题并逐步求解。	整数规划、组合优化	高维问题效率骤降
割平面法	指数级（依赖割平面生成效率）	添加割平面缩小可行域，逼近整数解。	整数规划的线性松弛增强	实现复杂，需处理数值稳定性
动态规划	伪多项式或多项式	重复子问题，最优子结构	背包问题、最短路径、序列决策
启发式算法	多项式（O(nk)O(nk)）	近似解，灵活但无最优性保证	大规模组合优化、实时调度

Slater条件保证强对偶性，KKT条件在最优解处自然成立

在对偶问题中，原始问题的目标值总是大于等于（或小于等于，取决于问题类型）对偶问题的目标值（在最小化问题中，对偶问题的目标值总是原始问题目标值的下界）。原始问题和对偶问题的最优解的目标值相等，即：原始问题的最优值=对偶问题的最优值原始问题的最优值=对偶问题的最优值则称强对偶性成立。

存在一个点，使得不等式约束成立。

a. 梯度条件(或称为平稳性条件)：在最优点 $x^{*}$ ，拉格朗日函数对 $x$ 的梯度必须为零

b. 可行性条件：等式不等式约束均满足

c. 互补松弛条件： $\vartheta _{j}g_{j}(x^{*})= 0$

d. 拉格朗日乘子非负性条件:

1. 凸问题：

a. KKT条件是最优解的必要性条件。

b. 若问题满足slater条件： KKT条件是最优解的充分必要条件。

2. 非凸问题：

a. 即使满足Slater条件和KKT条件，拉格朗日对偶方法无法可靠地将有约束问题转化为无约束问题，因对偶间隙通常存在且对偶解无法保证全局最优性。

1. 原问题的凸性（关键前提）

2. 强对偶性成立

3. 约束条件的类型：等式和不等式约束

4. 可微性要求

5. 对偶函数可计算

方法	简介	分布式
CPLEX	IBM公司开发的一款商业版的优化引擎	支持
ORTools	Google开发的一个开源软件套件	不支持
Gurobi	美国Gurobi公司开发的新一代大规模数学规划优化器	支持