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《平面几何强化训练题集》

7 在 $△ABC$ 中, $I$ 为内心, 在 $△ABC$ 的外接圆的 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ （不含点 $A$ ）上取点 $D$, 线段 $AD$ 交 $\odot (IBC)$ 于点 $P$, 作 $DE//AB$ 交 $BC$ 于点 $E$, $PF//AC$ 交 $BC$ 于点 $F$. 证明: $\angle EDF=90^{\circ }-\frac{1}{2}\angle BAC$.

证明:

$\angle PEC=\angle ABC=\angle ADC$, 所以 $P$, $E$, $D$, $C$ 共圆.

同理, $P$, $F$, $D$, $B$ 共圆.

$\angle EDF=\angle BDF+\angle CDE-\angle BDC$

$\angle BDF+\angle CDE=2\pi -\angle BPF-\angle CPE=2\pi -\angle BPC-\angle EPF$

$\angle BPC=\frac{\pi }{2}+\frac{\angle BAC}{2}$

$\angle EPF=\angle BAC$

$\angle BDC=\pi -\angle BAC$

所以 $\angle BDF+\angle CDE-\angle BDC=\frac{\pi }{2}-\angle \angle BAC2+\angle BDC$

$\angle EDF=\frac{\pi }{2}-\angle \angle BAC2$

证毕.

8 在 $△ABC$ 中, $I$ 为内心, 在 $△ABC$ 的外接圆的 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ （不含点 $A$ ）上取点 $D$, 线段 $AD$ 交 $\odot (IBC)$ 于点 $P$, 作 $PE//AB$ 交 $BC$ 于点 $E$. 证明: $\frac{PE}{PD}=\frac{AP}{AC}$.

证明:

$(IBC)$ 关于 $AI$ 对称 (证明略)

设 $B$ 关于 $AI$ 的对称点为 $B^{\prime }$, 则 $A{B}^{\prime }=AB$.

延长 $AD$ 交 $(IBC)$ 于 $F$.

$\angle PEC=\angle ABC=\angle ADC$, 所以 $P$, $E$, $D$, $C$ 共圆.

$\angle AFB=\angle PCE=\angle PED$, $BF//ED$.

$\angle EPD=\angle BAF$. 所以 $△ABF\sim △PED$.

$PE/PD=AB/AF=A{B}^{\prime }/AF$

$A{B}^{\prime }\cdot AC=AP\cdot AF$

所以 $A{B}^{\prime }/AF=AP/AC$

证毕.

9 已知 $△ABC$, 点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上, 点 $E$ 在边 $CA$ 上, 满足 $BD=CE$. $BC$ 的中垂线交 $△ADE$ 的外接圆于点 $P$, $DE$ 的中垂线交 $△ABC$ 的外接圆于点 $K$. 求证: $\angle BAK=\angle CAP$.

证明:

设 $(ABC)$ 交 $(ADE)$ 于 $A$, $H$.

$\angle DHE=\angle BHC$, 所以 $\angle BHD=\angle CHE$

结合 $\angle HEC=\angle BDH$, $BD=CE$, 可知 $△BDH\simeq △CEH$.

所以 $CH=EH$. $DH=EH$.

显然 $H$ 在 $BC$ 和 $DE$ 的中垂线上.

要证 $\angle BAK=\angle CAP$, 只需证 $\angle BHP=\angle KHE$

这显然成立.

证毕.