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Missashe高数强化学习笔记

说明：这篇笔记用于博主对高数强化课所学进行记录和总结。由于部分内容写在博主的日记博客里，所以博主会不定期将其重新copy到本篇笔记里。

第一章 函数极限连续

第二章 一元函数微分学

第三章 一元函数积分学

第一节 不定积分

知识点回顾

• 1.两个概念：原函数、不定积分：f(x)的全体原函数。
• 2.原函数的存在性：1）区间上连续必有原函数。2）区间上有第一类间断点则没有原函数，有第二类间断点可能有原函数。
• 3.性质和基本公式；用来运算的，要背下来。
• 4.三种积分方法：第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法（真换元）、分部积分法。
• 5.三类常见可积函数积分：
  • 1）有理函数积分：一般方法：部分分式法；特殊方法：加项减项拆或凑微分降幂。
  • 2）三角有理式积分：一般方法：万能代换；特殊方法：三角变形，换元，分部。
  • 3）简单无理函数积分：根式整体换元。

常考题型

• 1.计算不定积分
  • 1）第一种是直接给你一个不定积分让你算，要熟练掌握三大积分方法以及三种可积函数的积分方法，尤其是注意有理函数的积分，多项式可能会给的比较复杂。跟三角函数有关的不定积分会比较难算，但不止三角函数，其实各种类型函数的不定积分都可以出成难题，需要多做多见。
  • 2）第二种其实就是给你一些函数关系式，让你先把具体的函数求出来再积分，也就转化成第一种问题了。求具体函数一般是换元来做。
• 2.不定积分杂例：没有固定的套路，根据题目条件具体分析。求分段函数的原函数时，注意原函数存在则一定连续。

第二节 定积分

知识点回顾

• 1.定积分的概念：本质是和式极限，分、匀、和、精。表示的是一个值，与积分变量无关。还可以利用定积分定义求极限。
• 2.几何意义：前提是下限小于上限，定积分的值等于曲边梯形的面积、面积的负值或者上方面积减去下方面积之差。
• 3.可积性：指的是定积分存在。
  • 1）必要条件：$f(x)$可积则$f(x)$有界。
  • 2）充分条件：
    $f(x)$连续则$f(x)$可积。
    $f(x)$有界且只有有限个间断点则$f(x)$可积。
    $f(x)$只有有限个第一类间断点则$f(x)$可积。有第二类间断点可能可积。
• 4.$f(x)$可积和$f(x)$存在原函数是两个不同的概念，之间没有直接关联。
• 5.计算：牛顿莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法、利用奇偶性和周期性、利用公式：点火公式等。
• 6.变上限积分：掌握变上限积分的求导。
• 7.性质：不等式的性质和积分中值定理。

常考题型

• 1.定积分的概念、性质及几何意义
• 2.定积分计算
• 3.变上限积分函数及应用
• 4.积分不等式

第三节 反常积分

第四节 定积分应用

第四章 常微分方程

第五章 多元函数微分学

第六章 二重积分