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Beta分布是一种定义在区间 ([0, 1]) 上的连续概率分布，常用于描述比例或概率的不确定性。它的形状由两个正参数 (\alpha)（alpha）和 (\beta)（beta）控制，能够呈现多种形态（如对称、偏态、U型等）。

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1. 概率密度函数（PDF）

Beta分布的概率密度函数为：
$$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )},x\in [0,1]$$
其中：

• (B(\alpha, \beta)) 是Beta函数，用于归一化：
  $$B(\alpha ,\beta )={\int }_0^1{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}$$
• (\Gamma(\cdot)) 是伽马函数（Gamma function），满足 (\Gamma(n) = (n-1)!) 对正整数 (n)。

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2. 分布的形状

Beta分布的形状由 (\alpha) 和 (\beta) 决定：

• 对称分布：当 (\alpha = \beta) 时，分布对称（如 (\alpha=\beta=1) 时为均匀分布；(\alpha=\beta=2) 时为钟形）。
• 偏态分布：
  • (\alpha > \beta)：左偏（峰值靠近1）。
  • (\alpha < \beta)：右偏（峰值靠近0）。
• 极端形态：
  • (\alpha, \beta < 1)：U型（集中在0和1附近）。
  • (\alpha = 1, \beta > 1)：递减。
  • (\beta = 1, \alpha > 1)：递增。

典型例子：

参数 ((\alpha, \beta))	形状描述	示例场景
((1, 1))	均匀分布（Flat）	无先验信息时假设。
((2, 2))	对称钟形（峰值在0.5）	硬币公平性的温和先验。
((5, 1))	极端右偏（峰值靠近1）	成功概率很高的场景。
((0.5, 0.5))	U型（双峰在0和1）	两极分化强烈的比例（如点击率）。

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3. 可视化示例

下图展示了不同参数组合下的Beta分布形状：

• 红色曲线：((0.5, 0.5)) → U型。
• 蓝色曲线：((5, 1)) → 左偏。
• 绿色曲线：((2, 5)) → 右偏。
• 黑色曲线：((1, 1)) → 均匀分布。

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4. 统计性质

• 期望（均值）：
  $$E[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$$
• 方差：
  $$\text{Var}(X)=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$$
• 众数（峰值点）（当 (\alpha, \beta > 1)）：
  $$\text{Mode}=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$$

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5. 应用场景

Beta分布常用于：

1. 贝叶斯统计：作为二项分布参数的共轭先验（如点击率、转化率）。
2. A/B测试：建模两个版本的胜率。
3. 概率建模：描述任何有界区间（如用户评分、完成率）。

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6. 与其他分布的关系

• 二项分布：Beta分布是二项分布参数 (p) 的共轭先验。
• 均匀分布：当 (\alpha = \beta = 1) 时，Beta分布退化为均匀分布。

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总结

Beta分布是一个灵活的概率分布，通过调整 (\alpha) 和 (\beta) 可以模拟从均匀分布到极端偏态的各种形态，特别适合建模比例或概率的不确定性。其数学性质良好，是贝叶斯分析中的核心工具之一。