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目录

Python实例题

题目

代码实现

实现原理

方程组定义：

数值求解方法：

可视化功能：

关键代码解析

1. 方程组定义

2. 求解函数

3. 2D 图像绘制

使用说明

运行程序：

示例输入输出：

注意事项

局限性：

精度问题：

性能考虑：

扩展建议：

Python实例题

题目

Python计算二元二次方程组

代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import root
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cmdef system_of_equations(vars, eq1_coeffs, eq2_coeffs):"""定义二元二次方程组参数:vars (tuple): (x, y) 变量eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]返回:list: 方程组的值 [eq1_value, eq2_value]"""x, y = varsa1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffsa2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs# 计算第一个方程的值eq1 = a1*x**2 + b1*x*y + c1*y**2 + d1*x + e1*y + f1# 计算第二个方程的值eq2 = a2*x**2 + b2*x*y + c2*y**2 + d2*x + e2*y + f2return [eq1, eq2]def solve_system(eq1_coeffs, eq2_coeffs, initial_guesses=None):"""求解二元二次方程组参数:eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]initial_guesses (list): 初始猜测点列表，默认为None（使用默认猜测点）返回:list: 方程组的解 [(x1, y1), (x2, y2), ...]"""solutions = []# 如果没有提供初始猜测点，使用默认的猜测点if initial_guesses is None:# 在常见区域设置多个初始猜测点initial_guesses = [(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (10, 10), (-10, -10),(10, -10), (-10, 10), (0, 10), (0, -10), (10, 0), (-10, 0)]# 对每个初始猜测点求解方程组for guess in initial_guesses:result = root(system_of_equations, guess, args=(eq1_coeffs, eq2_coeffs))# 检查求解是否成功if result.success:x, y = result.x# 检查解是否已经在列表中（考虑浮点数精度）is_duplicate = Falsefor sol in solutions:if np.allclose([x, y], sol, rtol=1e-5, atol=1e-6):is_duplicate = Truebreakif not is_duplicate:# 验证解是否同时满足两个方程eq1_val, eq2_val = system_of_equations([x, y], eq1_coeffs, eq2_coeffs)if abs(eq1_val) < 1e-6 and abs(eq2_val) < 1e-6:solutions.append((x, y))return solutionsdef plot_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions=None, x_range=(-10, 10), y_range=(-10, 10)):"""绘制二元二次方程组及其解参数:eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]solutions (list): 方程组的解，默认为Nonex_range (tuple): x轴范围，默认为(-10, 10)y_range (tuple): y轴范围，默认为(-10, 10)"""# 创建网格x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], 1000)y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], 1000)X, Y = np.meshgrid(x, y)# 解析方程系数a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffsa2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs# 计算方程值Z1 = a1*X**2 + b1*X*Y + c1*Y**2 + d1*X + e1*Y + f1Z2 = a2*X**2 + b2*X*Y + c2*Y**2 + d2*X + e2*Y + f2# 创建图形plt.figure(figsize=(12, 10))# 绘制第一个方程的等高线（值为0的曲线）contour1 = plt.contour(X, Y, Z1, levels=[0], colors='blue', linewidths=2)plt.clabel(contour1, inline=True, fontsize=10)# 绘制第二个方程的等高线（值为0的曲线）contour2 = plt.contour(X, Y, Z2, levels=[0], colors='red', linewidths=2)plt.clabel(contour2, inline=True, fontsize=10)# 标记解点if solutions:for sol in solutions:plt.plot(sol[0], sol[1], 'go', markersize=10)plt.annotate(f'({sol[0]:.4f}, {sol[1]:.4f})', (sol[0], sol[1]), textcoords="offset points", xytext=(0,10), ha='center')# 添加标题和标签plt.title('二元二次方程组及其解', fontsize=16)plt.xlabel('x', fontsize=14)plt.ylabel('y', fontsize=14)plt.grid(True)# 添加图例plt.legend(['方程1', '方程2', '解'])# 显示图形plt.show()def plot_3d_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions=None, x_range=(-10, 10), y_range=(-10, 10)):"""绘制二元二次方程组的3D图像参数:eq1_coeffs (list): 第一个方程的系数 [a1, b1, c1, d1, e1, f1]eq2_coeffs (list): 第二个方程的系数 [a2, b2, c2, d2, e2, f2]solutions (list): 方程组的解，默认为Nonex_range (tuple): x轴范围，默认为(-10, 10)y_range (tuple): y轴范围，默认为(-10, 10)"""# 创建网格x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], 100)y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], 100)X, Y = np.meshgrid(x, y)# 解析方程系数a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffsa2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffs# 计算方程值Z1 = a1*X**2 + b1*X*Y + c1*Y**2 + d1*X + e1*Y + f1Z2 = a2*X**2 + b2*X*Y + c2*Y**2 + d2*X + e2*Y + f2# 创建3D图形fig = plt.figure(figsize=(12, 10))ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')# 绘制第一个方程的曲面surf1 = ax.plot_surface(X, Y, Z1, cmap=cm.Blues, alpha=0.5, linewidth=0, antialiased=True)# 绘制第二个方程的曲面surf2 = ax.plot_surface(X, Y, Z2, cmap=cm.Reds, alpha=0.5, linewidth=0, antialiased=True)# 绘制z=0平面ax.plot_surface(X, Y, np.zeros_like(X), alpha=0.1, color='gray')# 标记解点（如果有解）if solutions:for sol in solutions:x_sol, y_sol = solz_sol = 0  # 解点在z=0平面上ax.scatter(x_sol, y_sol, z_sol, color='green', s=100, marker='o')ax.text(x_sol, y_sol, z_sol, f'({x_sol:.4f}, {y_sol:.4f})', color='black', fontsize=12)# 添加标题和标签ax.set_title('二元二次方程组的3D图像', fontsize=16)ax.set_xlabel('x', fontsize=14)ax.set_ylabel('y', fontsize=14)ax.set_zlabel('方程值', fontsize=14)# 设置视角ax.view_init(elev=30, azim=45)# 添加图例fig.legend([surf1, surf2], ['方程1', '方程2'])# 显示图形plt.show()def main():"""主函数，处理用户输入并求解方程组"""try:print("="*50)print("        二元二次方程组求解器        ")print("="*50)print("\n请输入第一个方程的系数 (a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0):")a1 = float(input("  a1 = "))b1 = float(input("  b1 = "))c1 = float(input("  c1 = "))d1 = float(input("  d1 = "))e1 = float(input("  e1 = "))f1 = float(input("  f1 = "))print("\n请输入第二个方程的系数 (a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 0):")a2 = float(input("  a2 = "))b2 = float(input("  b2 = "))c2 = float(input("  c2 = "))d2 = float(input("  d2 = "))e2 = float(input("  e2 = "))f2 = float(input("  f2 = "))# 构建系数列表eq1_coeffs = [a1, b1, c1, d1, e1, f1]eq2_coeffs = [a2, b2, c2, d2, e2, f2]# 求解方程组solutions = solve_system(eq1_coeffs, eq2_coeffs)# 输出结果print("\n" + "="*50)if solutions:print(f"方程组共有 {len(solutions)} 个实数解:")for i, sol in enumerate(solutions, 1):print(f"解 {i}: x = {sol[0]:.6f}, y = {sol[1]:.6f}")else:print("方程组没有找到实数解。")print("="*50)# 询问用户是否要绘制图像plot_option = input("\n是否绘制方程组图像？(y/n): ").lower()if plot_option == 'y':x_min = float(input("请输入x轴最小值: "))x_max = float(input("请输入x轴最大值: "))y_min = float(input("请输入y轴最小值: "))y_max = float(input("请输入y轴最大值: "))# 绘制2D图像plot_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions, (x_min, x_max), (y_min, y_max))# 询问是否绘制3D图像plot_3d_option = input("是否绘制3D图像？(y/n): ").lower()if plot_3d_option == 'y':plot_3d_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions, (x_min, x_max), (y_min, y_max))except ValueError as ve:print(f"输入错误: {ve}")except Exception as e:print(f"发生错误: {e}")if __name__ == "__main__":main()    

实现原理

这个二元二次方程组求解器基于以下技术实现：

• 方程组定义：

  • 支持标准形式的二元二次方程组
  • 使用系数列表表示每个方程

• 数值求解方法：

  • 使用 scipy.optimize.root 函数求解非线性方程组
  • 设置多个初始猜测点以寻找所有可能的解
  • 使用容差检查解的有效性和唯一性

• 可视化功能：

  • 2D 图像展示两个方程的曲线及其交点
  • 3D 图像展示方程曲面与 z=0 平面的交线
  • 标记并显示所有实数解的坐标

关键代码解析

1. 方程组定义

def system_of_equations(vars, eq1_coeffs, eq2_coeffs):x, y = varsa1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffsa2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffseq1 = a1*x**2 + b1*x*y + c1*y**2 + d1*x + e1*y + f1eq2 = a2*x**2 + b2*x*y + c2*y**2 + d2*x + e2*y + f2return [eq1, eq2]

2. 求解函数

def solve_system(eq1_coeffs, eq2_coeffs, initial_guesses=None):solutions = []if initial_guesses is None:initial_guesses = [(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (10, 10), (-10, -10),(10, -10), (-10, 10), (0, 10), (0, -10), (10, 0), (-10, 0)]for guess in initial_guesses:result = root(system_of_equations, guess, args=(eq1_coeffs, eq2_coeffs))if result.success:x, y = result.x# 检查解是否已存在并验证解的有效性is_duplicate = Falsefor sol in solutions:if np.allclose([x, y], sol, rtol=1e-5, atol=1e-6):is_duplicate = Truebreakif not is_duplicate:eq1_val, eq2_val = system_of_equations([x, y], eq1_coeffs, eq2_coeffs)if abs(eq1_val) < 1e-6 and abs(eq2_val) < 1e-6:solutions.append((x, y))return solutions

3. 2D 图像绘制

def plot_equations(eq1_coeffs, eq2_coeffs, solutions=None, x_range=(-10, 10), y_range=(-10, 10)):x = np.linspace(x_range[0], x_range[1], 1000)y = np.linspace(y_range[0], y_range[1], 1000)X, Y = np.meshgrid(x, y)a1, b1, c1, d1, e1, f1 = eq1_coeffsa2, b2, c2, d2, e2, f2 = eq2_coeffsZ1 = a1*X**2 + b1*X*Y + c1*Y**2 + d1*X + e1*Y + f1Z2 = a2*X**2 + b2*X*Y + c2*Y**2 + d2*X + e2*Y + f2plt.figure(figsize=(12, 10))# 绘制等高线（值为0的曲线）contour1 = plt.contour(X, Y, Z1, levels=[0], colors='blue', linewidths=2)contour2 = plt.contour(X, Y, Z2, levels=[0], colors='red', linewidths=2)# 标记解点if solutions:for sol in solutions:plt.plot(sol[0], sol[1], 'go', markersize=10)plt.annotate(f'({sol[0]:.4f}, {sol[1]:.4f})', (sol[0], sol[1]), textcoords="offset points", xytext=(0,10), ha='center')plt.title('二元二次方程组及其解', fontsize=16)plt.xlabel('x', fontsize=14)plt.ylabel('y', fontsize=14)plt.grid(True)plt.legend(['方程1', '方程2', '解'])plt.show()

使用说明

• 运行程序：

python system_quadratic_solver.py

• 输入方程系数： 按照提示依次输入两个方程的系数 \(a, b, c, d, e, f\)。

• 查看结果： 程序会输出方程组的所有实数解，并可以选择绘制 2D 和 3D 图像以直观展示。

示例输入输出：

请输入第一个方程的系数 (a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0):a1 = 1b1 = 0c1 = 1d1 = 0e1 = 0f1 = -4请输入第二个方程的系数 (a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 0):a2 = 1b2 = 0c2 = -1d2 = 0e2 = 0f2 = 0==================================================
方程组共有 4 个实数解:
解 1: x = 1.414214, y = 1.414214
解 2: x = 1.414214, y = -1.414214
解 3: x = -1.414214, y = 1.414214
解 4: x = -1.414214, y = -1.414214
==================================================

注意事项

• 局限性：

  • 此程序只能找到实数解，无法找到复数解
  • 对于某些特殊方程组，可能需要调整初始猜测点
  • 数值方法可能无法找到所有解，尤其是当解的数量很多时

• 精度问题：

  • 浮点数精度可能导致微小误差
  • 解的验证使用容差（1e-6），可根据需要调整

• 性能考虑：

  • 绘制高分辨率图像可能需要较长时间
  • 复杂方程组可能需要更多的初始猜测点

• 扩展建议：

  • 添加符号解法支持（使用 SymPy 库）
  • 实现解的稳定性分析
  • 增加交互式界面调整参数和查看结果