昆明网站建设设计产品软文撰写

https://atcoder.jp/contests/arc165/tasks/arc165_e

考虑一个常见套路，我们对每个连通块统计其概率，设为 $p(T)$，则答案为

$$\sum _{|T|>k}p(T)$$

可以想成对于每个大小大于 $k$ 的连通块，都要至少选一个点，也就是进行一次操作。所以我们就统计所以这么大的连通块存在的概率，乘上1，就是其期望。总期望就是单独的期望之和。

然后一些显然的性质，一个连通块必然是树上的一个子树弄走它的一堆子树。而且要形成这样一个连通块，连通块内的点一定没有被选，而且和连通块相邻的所有点一定全部被选过。

那么我们现在就发现决定一个连通块贡献的性质。有了这个性质，我们就可以合并等价类了。

在合并之前，我们先考虑 $n$ 个点的块，$m$ 个点相连的概率。这 $m$ 个点必然早于这 $n$ 个点先被选。

但我们发现操作的先后可能影响一个点是否被选。

有一种常见套路，就是我们直接枚举操作顺序，这个操作顺序代表中如果某个点所在连通块大小小于等于 $k$，我们可以视为跳过这个操作。所以对于任意 $n$ 个点的操作方案为 $n!$

所以 $n$ 个点的块，$m$ 个点相连的概率为 $\frac{n!m!}{(n+m)!}$

这一步也可以操作官方题解的转化来理解：

然后回到前面那个问题，如何计算合法 $(n,m)$ 对呢？

因为这是一棵树，直接树形dp就行。数据范围就100，暴力转移即可。

复杂度 $O(n^4)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||
ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
#define Z(x) (x)*(x)
#define pb push_back
//mt19937 rand(time(0));
//mt19937_64 rand(time(0));
//srand(time(0));
#define N 210
//#define M
#define mo 998244353
int pw(int a, int b) {int ans=1; while(b) {if(b&1) ans*=a; b>>=1; a*=a; ans%=mo; a%=mo; }return ans; 
}
int n, m, i, j, k, T;
int dp[N][N][N], f[N][N], w[N]; 
int u, v, x, fac[N], inv[N], ans; 
vector<int>G[N]; void Mod(int &a) {a=(a%mo+mo)%mo; 
}void dfs(int x, int fa) {dp[x][1][0]=w[x]=1; int a, b, c, d; for(int y : G[x]) {if(y==fa) continue; dfs(y, x); for(a=0; a<=w[x]+w[y]; ++a)for(b=0; b<=w[x]+w[y]; ++b) f[a][b]=dp[x][a][b], dp[x][a][b]=0; for(a=0; a<=w[x]; ++a)for(b=0; b<=w[x]; ++b)  {dp[x][a][b+1]+=f[a][b]; Mod(dp[x][a][b+1]); for(c=0; c<=w[y]; ++c)for(d=0; d<=w[y]; ++d) {dp[x][a+c][b+d]+=f[a][b]*dp[y][c][d]%mo; Mod(dp[x][a+c][b+d]); }}w[x]+=w[y]; }
}signed main()
{
//	freopen("in.txt", "r", stdin);
//	freopen("out.txt", "w", stdout);
//	T=read();
//	while(T--) {
//
//	}n=read(); m=read(); for(i=fac[0]=1; i<=2*n+5; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mo; inv[2*n+5]=pw(fac[2*n+5], mo-2); for(i=2*n+4; i>=0; --i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo; for(i=1; i<n; ++i) {u=read(); v=read(); G[u].pb(v); G[v].pb(u); }dfs(1, 0); for(x=1; x<=n; ++x) for(i=m+1; i<=n; ++i)for(j=0; j<=n; ++j) {u=i; v=j+(x!=1); if(dp[x][i][j])ans+=fac[u]*fac[v]%mo*inv[u+v]%mo*dp[x][i][j]%mo; Mod(ans); }printf("%lld", ans); return 0;
}