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文章目录
- 三、矩阵的QR分解
- 3.1、Givens矩阵与Givens变换
- 3.2、Householder矩阵与Householder变换
- 3.3、QR分解
书接上文矩阵分解相关知识点总结（一）
三、矩阵的QR分解
3.1、Givens矩阵与Givens变换
设非零列向量 x ∈ R n \bm{x}\in {\bf{R}}^n x∈Rn及单位列向量 z ∈ R n \bm{z}\in {\bf{R}}^n z∈Rn，存在有限个Givens矩阵的乘积，记作 T \bm{T} T，使得
T x = ∣ x ∣ z (3) \color{#F00}\bm{T}\bm{x}=|\bm{x}|\bm{z}\tag{3} Tx=∣x∣z(3)
上式即为Givens变换，也称初等旋转变换，其中Givens矩阵，也称初等旋转矩阵，记作 T i j = T i j ( c , s ) = [ I c s I − s c I ] \color{#F0F}\bm{T}_{ij}=\bm{T}_{ij}(c,s)=\begin{bmatrix} \bm{I} \\[1ex] & c & & s & \\[1.2ex] & & \bm{I} \\[1.2ex] & -s& & c \\[1.2ex] & & & & \bm{I} \end{bmatrix} Tij=Tij(c,s)= Ic−sIscI ， T = T 1 n T 1 , n − 1 ⋯ T 13 T 12 \bm{T}=\bm{T}_{1n}\bm{T}_{1,n-1}\cdots \bm{T}_{13}\bm{T}_{12} T=T1nT1,n−1⋯T13T12。
对于非零列向量 x = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) T \bm{x}=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)^{\rm T} x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn)T，及单位列向量 z = e 1 = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T \bm{z}=\bm{e}_1=(1,0,\cdots,0)^{\rm T} z=e1=(1,0,⋯,0)T，其Givens变换过程如下：
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首先对 x \bm{x} x构造Givens矩阵 T 12 ( c , s ) = [ c s − s c I ] \bm{T}_{12}(c,s)=\begin{bmatrix} c&s \\-s & c\\ & & \bm{I} \end{bmatrix} T12(c,s)= c−sscI ，其中 c = ξ 1 ξ 1 2 + ξ 2 2 , s = ξ 2 ξ 1 2 + ξ 2 2 c=\cfrac{\xi_1}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}}\,,\,s=\cfrac{\xi_2}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}} c=ξ12+ξ22ξ1,s=ξ12+ξ22ξ2，有
T 12 x = ( ξ 1 2 + ξ 2 2 , 0 , ξ 3 , ⋯ , ξ n ) T \bm{T}_{12}\bm{x}=(\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2},0,\xi_3,\cdots,\xi_n)^{\rm T} T12x=(ξ12+ξ22,0,ξ3,⋯,ξn)T -
再对 T 12 x \bm{T}_{12}\bm{x} T12x构造Givens矩阵 T 13 ( c , s ) = [ c s 1 − s c I ] \bm{T}_{13}(c,s)=\begin{bmatrix} c& &s \\ &1& \\-s & & c\\ & & & \bm{I} \end{bmatrix} T13(c,s)= c−s1scI ，其中 c = ξ 1 2 + ξ 2 2 ξ 1 2 + ξ 2 2 + ξ 3 2 , s = ξ 3 ξ 1 2 + ξ 2 2 + ξ 3 2 c=\cfrac{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2}}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2}}\,,\,s=\cfrac{\xi_3}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2}} c=ξ12+ξ22+ξ32ξ12+ξ22,s=ξ12+ξ22+ξ32ξ3，有
T 13 ( T 12 x ) = ( ξ 1 2 + ξ 2 2 + ξ 3 2 , 0 , 0 , ξ 4 , ⋯ , ξ n ) T \bm{T}_{13}(\bm{T}_{12}\bm{x})=(\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2},0,0,\xi_4,\cdots,\xi_n)^{\rm T} T13(T12x)=(ξ12+ξ22+ξ32,0,0,ξ4,⋯,ξn)T -
如此下去，最后对 T 1 , n − 1 T 1 , n − 2 ⋯ T 13 T 12 x \bm{T}_{1,n-1}\bm{T}_{1,n-2}\cdots \bm{T}_{13}\bm{T}_{12}\bm{x} T1,n−1T1,n−2⋯T13T12x构造Givens矩阵 T 1 n ( c , s ) = [ c s I − s c ] \bm{T}_{1n}(c,s)=\begin{bmatrix} c& &s \\ & \bm{I}& \\-s & & c \end{bmatrix} T1n(c,s)= c−sIsc ，其中 c = ξ 1 2 + ⋯ + ξ n − 1 2 ξ 1 2 + ξ 2 2 + ⋯ + ξ n − 1 2 + ξ n 2 , s = ξ n ξ 1 2 + ξ 2 2 + ⋯ + ξ n − 1 2 + ξ n 2 \color{#F0F}c=\cfrac{\sqrt{\xi_1^2+\cdots+\xi_{n-1}^2}}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\cdots+\xi_{n-1}^2+\xi_{n}^2}}\,,\,s=\cfrac{\xi_n}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\cdots+\xi_{n-1}^2+\xi_{n}^2}} c=ξ12+ξ22+⋯+ξn−12+ξn2ξ12+⋯+ξn−12,s=ξ12+ξ22+⋯+ξn−12+ξn2ξn，有
T 1 n ( T 1 , n − 1 ⋯ T 12 x ) = ( ξ 1 2 + ξ 2 2 + ⋯ + ξ n − 1 2 + ξ n 2 , 0 , ⋯ , 0 ) T \bm{T}_{1n}(\bm{T}_{1,n-1}\cdots \bm{T}_{12}\bm{x})=(\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\cdots+\xi_{n-1}^2+\xi_{n}^2},0,\cdots,0)^{\rm T} T1n(T1,n−1⋯T12x)=(ξ12+ξ22+⋯+ξn−12+ξn2,0,⋯,0)T
令 T = T 1 n T 1 , n − 1 ⋯ T 12 \bm{T}=\bm{T}_{1n}\bm{T}_{1,n-1}\cdots \bm{T}_{12} T=T1nT1,n−1⋯T12，有 T x = ∣ x ∣ z = ∣ x ∣ e 1 \bm{T}\bm{x}=|\bm{x}|\bm{z}=|\bm{x}|\bm{e}_1 Tx=∣x∣z=∣x∣e1，即通过有限个Givens矩阵 T \bm{T}\, T将 x \bm{x}\, x变换为与 z \bm{z}\, z同方向的向量。
3.2、Householder矩阵与Householder变换
任意给定非零列向量 x ∈ R n ( n > 1 ) \bm{x}\in {\bf{R}}^n\;(n>1) x∈Rn(n>1)及单位列向量 z ∈ R n \bm{z}\in {\bf{R}}^n z∈Rn，则存在矩阵 H \bm{H} H，使得
H x = ∣ x ∣ z (4) \color{#F00}\bm{H}\bm{x}=|\bm{x}|\bm{z}\tag{4} Hx=∣x∣z(4)
上式即为Householder变换，也称初等反射变换，其中 H = I − 2 u u T \color{#F0F}\bm{H}=\bm{I}-2\bm{uu}^{\rm T} H=I−2uuT，为Householder矩阵，也称初等反射矩阵。
对于非零列向量 x = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n − 1 , ξ n ) T \bm{x}=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-1},\xi_n)^{\rm T} x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn−1,ξn)T及单位列向量 z = e 1 = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T \bm{z}=\textbf{\textit{e}}_1=(1,0,\cdots,0)^{\rm T} z=e1=(1,0,⋯,0)T，其Householder变换过程如下：
取 u = x − ∣ x ∣ z ∣ x − ∣ x ∣ z ∣ = x − ∣ x ∣ e 1 ∣ x − ∣ x ∣ e 1 ∣ \color{#F0F}\bm{u}=\cfrac{\bm{x}-|\bm{x}|\bm{z}}{|\bm{x}-|\bm{x}|\bm{z}|}=\cfrac{\bm{x}-|\bm{x}|\bm{e}_1}{|\bm{x}-|\bm{x}|\bm{e}_1|} u=∣x−∣x∣z∣x−∣x∣z=∣x−∣x∣e1∣x−∣x∣e1，其中 ∣ x ∣ = ξ 1 2 + ξ 2 2 + ⋯ + ξ n − 1 2 + ξ n 2 |\bm{x}|=\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\cdots+\xi_{n-1}^2+\xi_{n}^2} ∣x∣=ξ12+ξ22+⋯+ξn−12+ξn2，则 H = I − 2 u u T \bm{H}=\bm{I}-2\bm{uu}^{\rm T} H=I−2uuT， H x = ∣ x ∣ z = ∣ x ∣ e 1 \bm{Hx}=|\bm{x}|\bm{z}=|\bm{x}|\bm{e}_1 Hx=∣x∣z=∣x∣e1，即通过Householder矩阵 H \bm{H}\, H将 x \bm{x}\, x变换为与 z \bm{z}\, z同方向的向量。
| Givens矩阵 T i j \textbf{\textit{T}}_{ij}\, Tij具有如下性质 | Householder矩阵 H \textbf{\textit{H}}\, H具有如下性质 | |
|---|---|---|
| (1) | T i j = − T i j T = − T i j − 1 \bm{T}_{ij}=-\bm{T}_{ij}^{\rm T}=-\bm{T}_{ij}^{-1} Tij=−TijT=−Tij−1 | H = H T = H − 1 \bm{H}=\bm{H}^{\rm T}=\bm{H}^{-1} H=HT=H−1 |
| (2) | T i j 2 = − T i j T T i j = − T i j − 1 T i j = − I \bm{T}_{ij}^{2}=-\bm{T}_{ij}^{\rm T}\bm{T}_{ij}=-\bm{T}_{ij}^{-1}\bm{T}_{ij}=-\bm{I} Tij2=−TijTTij=−Tij−1Tij=−I | H 2 = H T H = H − 1 H = I \bm{H}^2=\bm{H}^{\rm T}\bm{H}=\bm{H}^{-1}\bm{H}=\bm{I} H2=HTH=H−1H=I |
| (3) | d e t T i j = 1 \rm{det}\bm{T}_{ij}=1 detTij=1 | d e t H = − 1 \rm{det}\bm{H}=-1 detH=−1 |
初等旋转矩阵是两个初等反射矩阵的乘积，即有 T i j = H v H u (5) \color{#F00}初等旋转矩阵是两个初等反射矩阵的乘积，即有\bm{T}_{ij}=\bm{H}_v\bm{H}_u\tag{5} 初等旋转矩阵是两个初等反射矩阵的乘积，即有Tij=HvHu(5)
3.3、QR分解
设 A A A是 m × n m\times n m×n实（复）矩阵，且其 n n n个列线性无关，则 A A A有分解
A = Q R (6) \color{#F00}A=QR\tag{6} A=QR(6)
其中 Q Q Q是 m × n m\times n m×n实（复）矩阵，且满足 Q T Q = I Q^{\text T}Q=I QTQ=I（ Q H Q = I Q^{\text H}Q=I QHQ=I）， R R R是 n n n阶实（复）可逆上三角矩阵。上式即为矩阵的QR分解，也称正交三角分解，该分解除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外是唯一的。
对于任意的 n n n阶实可逆矩阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n \times n} A=(aij)n×n，均可通过左连乘Givens矩阵（初等旋转矩阵）或左连乘Householder矩阵（初等反射矩阵），将其化为可逆上三角矩阵。