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《动手学深度学习》-4.4-笔记

验证数据集：通常是从训练集中划分出来的一部分数据，不要和训练数据混在一起，评估模型好坏的数据集

测试数据集：只用一次的数据集

k-折交叉验证（k-Fold Cross-Validation）是一种统计方法，用于评估和比较机器学习模型的性能。它通过将数据集分成k个子集（或“折”）来实现，每个子集都作为一次测试集，而剩余的k-1个子集则作为训练集。这个过程会重复k次，每次选择不同的子集作为测试集，最终将k次测试结果的平均值作为模型的性能评估。常用k=5/10,在没有足够多数据使用时。

总结：

训练数据集：训练模型参数

验证数据集：选择模型超参数

非大型数据集上通常使用k-折交叉验证

欠拟合（Underfitting）

欠拟合是指模型对训练数据的拟合程度不够，无法捕捉到数据中的规律和模式。换句话说，模型过于简单，无法很好地描述数据的特征。

过拟合（Overfitting）

过拟合是指模型对训练数据拟合得过于完美，以至于模型在训练数据上表现很好，但在新的、未见过的数据上表现很差。换句话说，模型过度学习了训练数据中的噪声和细节，而无法泛化到新的数据。

模型容量的定义

表示容量：模型的最大拟合能力，即通过调节参数，模型能够表示的函数族

1. 模型参数数量：参数越多，模型容量通常越高。

2. 模型结构复杂度：例如，神经网络的层数和每层的神经元数量。

3. 数据复杂度：数据的复杂度（如样本数量、特征数量）也会影响模型容量的选择

模型容量与过拟合、欠拟合的关系

• 容量不足：模型无法很好地拟合训练数据，导致欠拟合。

• 容量过高：模型可能会过度拟合训练数据中的噪声，导致过拟合

总结;

模型容量需要匹配数据复杂度，否则可能过拟合或欠拟合

统计机器学习提供数学工具来衡量模型复杂度 

代码部分：
 

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

引入需要的库

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))#随机生成200个样本点（服从标准正态分布的x值）。
np.random.shuffle(features)#打乱样本顺序。
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)#加上噪音

分析:

生成一个多项式回归的训练/测试数据集。也就是说，我们在模拟一个“隐藏函数”，然后加一点噪声，生成一些数据，来用于模型训练。

多项式阶数:我们打算生成最多20阶的多项式数据（比如 1, x, x², ..., x¹⁹）。

true_w = np.zeros(max_degree)  # 创建一个长度为20的权重数组，初始值全是0
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

这一步设置了我们想要“模拟”的真实多项式模型的参数。它实际上模拟了一个三阶多项式：

y = 5 + 1.2x - 3.4x² + 5.6x³

其余的高阶项（x⁴ ~ x¹⁹）的系数为0。

poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))

这一步是关键！构造一个 多项式特征矩阵。

假设 features = [[x1], [x2], ..., [x200]]，
我们把它转化为：
[[1, x1, x1², x1³, ..., x1^19],
 [1, x2, x2², x2³, ..., x2^19],
 ...
]

for i in range(max_degree):poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!

这一步是做多项式特征的缩放处理，用的是数学中的Gamma函数。

举例：

• gamma(1) = 0! = 1

• gamma(2) = 1! = 1

• gamma(3) = 2! = 2

• gamma(4) = 3! = 6 ...

所以这是在做归一化的处理，让高阶项不会变得太大

labels = np.dot(poly_features, true_w)

这一步是最核心的：根据我们设定的权重 true_w 计算标签 y 值。

可以理解为：
对每一行的多项式特征向量和权重向量做内积（点乘），
也就是：

• 所以最终的标签是：
  真实标签 + 小范围扰动

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]
#这句用列表推导式，把之前的 NumPy 数组全部 转换成 PyTorch 的 tensor（张量）格式，这样就可以用 PyTorch 来训练模型啦！
features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]#这个不是赋值语句，而是查看前两个样本的输入特征、多项式特征和标签的值，

已经把 NumPy 的数组转成了 PyTorch 的张量

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save"""评估给定数据集上模型的损失"""metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量for X, y in data_iter:out = net(X)#前向传播 + 计算损失 让模型对输入 X 做预测，得到输出 outy = y.reshape(out.shape)l = loss(out, y)#计算预测结果和真实值之间的损失metric.add(l.sum(), l.numel())#计算预测结果和真实值之间的损失return metric[0] / metric[1]#计算预测结果和真实值之间的损失

评估模型在某个数据集（data_iter）上的平均损失。

分析：

• net: 模型（PyTorch 中定义的神经网络）

• data_iter: 数据迭代器（通常是训练集或测试集的 DataLoader）

• loss: 损失函数（比如 nn.MSELoss()）

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,num_epochs=400):#定义了一个训练函数loss = nn.MSELoss(reduction='none')#均方误差损失函数（MSE），但不求平均，保留每个样本的损失值。input_shape = train_features.shape[-1]# 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))batch_size = min(10, train_labels.shape[0])train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),batch_size)#把训练和测试数据打包成 DataLoader，方便模型一批一批训练test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),batch_size, is_train=False)trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)#使用随机梯度下降（SGD）优化模型参数，学习率为 0.01animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],legend=['train', 'test'])#用 D2L 里的 Animator 动态绘图类，记录训练过程的 loss 曲线for epoch in range(num_epochs):#训练一个 epoch，用的是 D2L 中封装好的 train_epoch_ch3（每轮完整训练一遍所有 batch）d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:#每隔20轮（或第1轮），就评估一下训练集和测试集上的平均损失，然后加到图上animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('weight:', net[0].weight.data.numpy())  #打印最终训练得到的权重

PyTorch + 多项式特征训练一个线性模型，并可视化训练过程的

• 用线性模型拟合你设计的多项式数据（多阶特征）

• 使用 MSELoss + SGD 训练

• 可视化训练和测试集上的损失变化

• 打印最终训练好的模型参数，看看学得准不准

按书中的报错然后，你调用了 l.backward() 来反向传播，但这个 l 是一个 不需要梯度 的张量（requires_grad=False），所以无法反向传播！

还是之前的做法：

loss = nn.MSELoss(reduction='none')返回的是一个 每个样本的损失 的张量，而不是所有样本损失的平均或总和。

看看 train_epoch_ch3 的定义），它里面可能是直接用了 l = loss(y_hat, y)，然后 l.backward()。

修改后

正常：

欠拟合

如果用不同复杂度的模型来拟合这个函数，表现会怎样？

# 只用 1 和 x 两项（线性模型）
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],labels[:n_train], labels[n_train:])

这意味着你在训练一个线性模型：

这个模型完全忽略了二阶项 x² 和三阶项 x³，所以它根本学不出原来的复杂模式。

结果就是：

• 训练损失很高

• 测试损失也高

• 模型欠拟合：学得太简单，跟不上真实的非线性函数

# 使用与真实模型相同的特征阶数
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],labels[:n_train], labels[n_train:])

 这次你用了前4项：

注意：你训练的时候也会拟合这几个特征，也就是：

而我们真实函数 y = 5 + 1.2x - 3.4x^2 + 5.6x^3，刚好就是3阶多项式

• 训练损失下降得更快

• 最终损失更低

• 模型可以很好地拟合数据，不欠拟合也不过拟合

 

poly_features[:, :] 表示使用 所有20阶的多项式特征，也就是：

• 训练了一个 20维输入的线性模型

• 训练次数设为 1500 轮（比前面更多）

• 但现在用一个 包含20阶的模型 去拟合这些数据，虽然原函数只有3阶，后面17个高阶项都是“多余的”。

• 训练集表现很好（损失很低），但在测试集上 泛化能力变差