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深度学习的损失函数和反向传播涉及到很多数学知识，其原理解释在此。

1 似然估计

1.1 基本概念

似然估计贯穿于整个参数估计的过程，包含损失函数的定义、梯度的计算以及参数的更新。

1. 定义：损失函数通常是似然函数，反映了模型预测的概率分布与真实数据分布之间的差异，定义这个损失函数是基于似然估计的原则。
2. 梯度计算：在训练过程中，需要计算损失函数关于模型参数的梯度，这个梯度指示了参数空间中损失函数增加最快的方向。为了最小化损失函数，需要沿着梯度的反方向更新参数。计算梯度的过程也是基于似然估计的原则。
3. 参数更新：在计算得到梯度后，使用优化算法（如梯度下降、Adam等）更新模型参数。这一步是似然估计的核心，通过更新参数来最小化损失函数。参数的更新是基于似然估计的目标。

1.2 最大似然估计

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE） 是统计学中的一种方法，用于估计概率模型中的参数。在给定数据 D = { x i , y i } i = 1 N D=\{x_i,y_i\}^N_{i=1} D={xi​,yi​}i=1N​时，找到模型参数$\theta$，使得数据出现的概率（似然）最大。

• 似然函数：似然函数是给定参数下观测数据的概率，$L(\theta )={\prod }_{i=1}^{N}P(y_i|x_i;\theta )$。对于离散随机变量，似然函数是概率质量函数（PMF）的乘积；对于连续随机变量，似然函数是概率密度函数（PDF）的乘积。
• 对数似然函数：为了简化计算，通常取似然函数的自然对数，得到对数似然函数，$\log L(\theta )={\sum }_{i=1}^N\log P(y_i|x_i;\theta )$。

最大似然估计：最大似然估计是使似然函数或对数似然函数达到最大值的参数值。最大化对数似然等价于最小化负对数似然（Negative Log-Likelihood,NLL），$J(\theta )=-\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N\log P(y_i|x_i;\theta )$，这通常是深度学习中的交叉熵损失。

1.3 对数似然(Log-Likelihood)

基本原理——对数的加法运算法则：${\log }_a(MN)={\log }_a(M)+{\log }_a(N)$

直接对概率$P(y|x;\theta )$求导时，链式法则会导致复杂的计算（尤其是多层神经网络），对数梯度形式更易于计算。（建议再学习一下softmax概率交叉熵损失的梯度推导）

乘积形式的概率在计算时容易导致数值下溢，取对数可以将乘积转为求和，避免数值问题，同时对数函数的单调性保证最大化对数似然等价于最大化原始似然。

数值下溢（Underflow） 是计算机科学中一个常见的数值问题，指的是在计算过程中，某些数值变得非常小，以至于超出了计算机浮点数表示范围的下限，从而导致这些数值被近似为零的现象。

另外，对数转换后的梯度方差更小，有助于稳定训练。

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参考来源：
@ AIGC
策略梯度定理公式的详细推导