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一、康托展开

1.1 排列的排名

n 个元素构成的排列的排名为 所有排列按字典序升序下的排名，比如 “1234” 的排名就是 1。

1.2 Lehmer 码

Lehmer 码（Lehmer code）是一种 阶乘进制（factorial number system）。这种进制中，不同的数位对应的底数（radix）并不相同。比如，十进制数 $463_{10}$ 可以在阶乘进制中表示为：
$$463_{10}=341010_{!}$$
它表示如下含义
$$463=3\times 5!+4\times 4!+1\times 3!+0\times 2!+1\times 1!+0\times 0!$$

1.3 康托展开

康托展开是指一种将自然数展开为数列的方法，类似于试填法 / 数位dp，从而求出排列的排名。

例如 求 452631 的排名，逐位试填：

• 第一位如果小于 4，那么可以填 1、2、3，剩下的随便填，贡献是 3 * 5!
• 第一位填4，第二位填小于5，那么可以填1、2、3，剩下随便填，贡献是 3 * 4!
• ……
• 因而 该排列的排名就是 1 + 3 * 5! + 3 * 4! + 1 * 3! + 2 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0! = 444

加1 是因为我们试填算的是字典序严格小于该排列的排列数。

而我们试填的过程其实就是求出了该排列的 Lehmer 码的值。

那么就可以给出我们康托展开求排列排名的算法：

• 初始化 阶乘 fac = 1，排列长度为n，0 索引
• 倒序遍历该排列， 用权值树状数组维护当前加入树状数组的数字(平衡树类似的数据结构也可以)
• 假设 当前 下标为 i，用树状数组查询比 p[i] 小的数字 个数 为 cnt，那么该位置的贡献为 fac * cnt
• 然后更新 fac = (n - i) * cnt
• 假设求得的贡献和 为res，那么排名就是 res + 1

1.4 模板

模板中带取模，因为如果 求得排列长度很小比如 10，就没必要上康托展开了，当很大的时候一般都会取模。

或者存Lehmer 码 来避免求高精度（这在后面的逆康托展开中有涉及）

template<typename T>
class Fenwick {
private:int n;std::vector<T> tr;
public:Fenwick(int _n) : n(_n), tr(_n + 1){}Fenwick(const std::vector<T> &_init) : Fenwick(_init.size()) {init(_init);}void init(const std::vector<T> &_init) {for (int i = 1; i <= n; ++ i) {tr[i] += _init[i - 1];int j = i + (i & -i);if (j <= n)tr[j] += tr[i];}}void add(int x, T k) {for (; x <= n; x += x & -x) tr[x] += k;}void add(int l, int r, T k) {add(l, k);if (r + 1 <= n)add(r + 1, -k);}T query(int x) const {T res = T{};for (; x; x &= x - 1) {res += tr[x];}return res;}T query(int l, int r) const {if (l > r) return T{};return query(r) - query(l - 1);}int select(int k) {int x = 0;T cur{};for (int i = 1 << std::__lg(n); i; i /= 2) {if (x + i <= n && cur + tr[x + i] < k) {x += i;cur = cur + tr[x];}}return x + 1;}void clear() {tr.assign(n + 1, T{});}
};constexpr int P = 998244353;int rank(std::vector<int> p) {int n = p.size();Fenwick<int> fen(n);int res = 0;for (int i = n - 1, fac = 1; i >= 0; -- i) {res += 1LL * fen.query(p[i] - 1) * fac % P;if (res >= P) {res -= P;}fen.add(p[i], 1);fac = 1LL * (n - i) * fac % P;}return res + 1;
}

1.5 题目练习

1.5.1 P5367 【模板】康托展开

原题链接

P5367 【模板】康托展开

思路分析

板子题，直接切

AC代码

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using u128 = unsigned __int128;template<typename T>
class Fenwick {
private:int n;std::vector<T> tr;
public:Fenwick(int _n) : n(_n), tr(_n + 1){}Fenwick(const std::vector<T> &_init) : Fenwick(_init.size()) {init(_init);}void init(const std::vector<T> &_init) {for (int i = 1; i <= n; ++ i) {tr[i] += _init[i - 1];int j = i + (i & -i);if (j <= n)tr[j] += tr[i];}}void add(int x, T k) {for (; x <= n; x += x & -x) tr[x] += k;}void add(int l, int r, T k) {add(l, k);if (r + 1 <= n)add(r + 1, -k);}T query(int x) const {T res = T{};for (; x; x &= x - 1) {res += tr[x];}return res;}T query(int l, int r) const {if (l > r) return T{};return query(r) - query(l - 1);}int select(int k) {int x = 0;T cur{};for (int i = 1 << std::__lg(n); i; i /= 2) {if (x + i <= n && cur + tr[x + i] < k) {x += i;cur = cur + tr[x];}}return x + 1;}void clear() {tr.assign(n + 1, T{});}
};constexpr int P = 998244353;int rank(std::vector<int> p) {int n = p.size();Fenwick<int> fen(n);int res = 0;for (int i = n - 1, fac = 1; i >= 0; -- i) {res += 1LL * fen.query(p[i] - 1) * fac % P;if (res >= P) {res -= P;}fen.add(p[i], 1);fac = 1LL * (n - i) * fac % P;}return res + 1;
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);int n;std::cin >> n;std::vector<int> p(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> p[i];}std::cout << rank(p) << '\n';return 0;
}

二、逆康托展开

2.1 逆康托展开

康托展开的逆问题，即给定排名求解相应的排列，只要将上述过程反过来操作即可。

• 实际上，在这一过程中求得的 Lehmer 码中的数字之和，就是排列的逆序数。

一个直接的方法是，预处理阶乘，然后权值树状数组初始化所有数字权值为1，然后顺序根据排名填写。

求lemher码一个比较好的避免预处理阶乘的方式是：

• 注意到 lehmer(i) <= n - i - 1 （0索引）
• 我们倒着填写(从n - 1 -> 0)，假设求第k名排列
• lemher[i] = k % (n - i)，k /= i
• 如此往左填写

为什么这么写是对的？

对于 lemher[n - 1]，它的贡献是 lemher[n - 1] * 0!，然后我们除去了 1!，那么下一位即 lemher[n - 1] 的值就是 对 2取余

对于 lemher[n - 2]，它的贡献是 lemher[n - 2] * 1!，然后我们除去了 2!，那么下一位即 lemher[n - 2] 的值就是 对 3取余

我们保证枚举到这一位的时候贡献已经通过k / (n - i) 等价为1，那么该位的值就是对n - i 取模

然后初始化树状数组每一位的权值为1，从左往右选取当前剩余的 lemher[i] + 1个数字

2.2 模板

std::vector<int> kth_permutation(int n, i64 k) {-- k;std::vector<int> lehmer(n);for (int i = 1; i <= n; ++i) {lehmer[n - i] = k % i;k /= i;}Fenwick<int> fen((std::vector<int>(n, 1)));std::vector<int> res(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {res[i] = fen.select(lehmer[i] + 1);fen.add(res[i], -1);}return res;
}

2.3 题目练习

2.3.1 U72177 火星人plus

原题链接

U72177 火星人plus

思路分析

比较麻烦的是涉及到高精度，怎么办？

求出 初始排列的lemher码，然后 末尾 += m，然后不断进位。然后根据lemher结合树状数组/平衡树填写即可。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;
using u32 = unsigned;
using u128 = unsigned __int128;template<typename T>
class Fenwick {
private:int n;std::vector<T> tr;
public:Fenwick(int _n) : n(_n), tr(_n + 1){}Fenwick(const std::vector<T> &_init) : Fenwick(_init.size()) {init(_init);}void init(const std::vector<T> &_init) {for (int i = 1; i <= n; ++ i) {tr[i] += _init[i - 1];int j = i + (i & -i);if (j <= n)tr[j] += tr[i];}}void add(int x, T k) {for (; x <= n; x += x & -x) tr[x] += k;}void add(int l, int r, T k) {add(l, k);if (r + 1 <= n)add(r + 1, -k);}T query(int x) const {T res = T{};for (; x; x &= x - 1) {res += tr[x];}return res;}T query(int l, int r) const {if (l > r) return T{};return query(r) - query(l - 1);}int select(int k) {int x = 0;T cur{};for (int i = 1 << std::__lg(n); i; i /= 2) {if (x + i <= n && cur + tr[x + i] < k) {x += i;cur = cur + tr[x];}}return x + 1;}
};int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);int n;std::cin >> n;i64 m;std::cin >> m;std::vector<int> p(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> p[i];}Fenwick<int> fen((std::vector<int>(n, 1)));std::vector<i64> lehmer(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {lehmer[i] = fen.query(p[i] - 1);fen.add(p[i], -1);}std::reverse(lehmer.begin(), lehmer.end());lehmer[0] += m;for (int i = 0; i + 1 < n; ++ i) {lehmer[i + 1] += lehmer[i] / (i + 1);lehmer[i] %= (i + 1);}while (lehmer.back() >= lehmer.size()) {i64 x = lehmer.back() / lehmer.size();lehmer.back() %= lehmer.size();lehmer.push_back(x);}std::reverse(lehmer.begin(), lehmer.end());fen = Fenwick<int>((std::vector<int>(lehmer.size(), 1)));for (int i = 0; i < lehmer.size(); ++ i) {int x = fen.select(lehmer[i] + 1);std::cout << x << " \n"[i + 1 == lehmer.size()];fen.add(x, -1);}return 0;
}