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目录

一、信源编码基本概念

1. 定义与目的

2. 编码示例

3. 编码分类

4. 唯一可译码的判断标准

5. 编码评价指标

二、香农第一定理（无失真可变长信源编码定理）

1. 核心内容

2. 关键概念与指标

3. 数据压缩的本质

4. 例子与启示

5. 定理的意义

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一、信源编码基本概念

信源编码的核心：通过去除冗余（相关性或非均匀分布）提高传输效率。

1. 定义与目的

• 定义：将信源输出的符号（如文字、数字、图像等）转换为适合信道传输的信号（如二进制码、电脉冲等）。
• 目的：
  1. 能够传输：匹配信源与信道的特性，确保接收端能正确译码。
  2. 有效传输：减少冗余信息，提高传输效率（用更少的码元表示信源符号）。

2. 编码示例

• Morse码：用“点（·）”和“划（—）”的组合表示字母（如A=·—，B=—···）。
• 汉字电码：每个汉字用4位阿拉伯数字编码（如“中”=0022）。
• ASCII码：用7位或8位二进制数表示字符（如A=01000001）。

3. 编码分类

分类依据	类型	说明
编码范围	基本源编码	对单个符号编码（如字母A→01）。
	扩展源编码	对符号序列编码（如单词“ABC”→001011）。
信息是否损失	无失真编码	完全保留信息（如Huffman码），满足I(X;Y)=H(X)​。
	有失真编码	允许部分信息损失（如JPEG压缩），满足I(X;Y)<H(X)​。
译码唯一性	唯一可译码	任意码字序列只能唯一译码（如前缀码）。
	非唯一可译码	存在歧义（如编码{0, 01}，序列“01”可译作“01”或“0”+“1”）。
码长是否固定	定长编码	所有码字长度相同（如ASCII码）。
	变长编码	码长可变（如Huffman码，高频符号用短码）。

4. 唯一可译码的判断标准

• 等长码：若为非奇异码（所有码字互不相同），则唯一可译。
• 变长码：若为前缀码（无码字是其他码字的前缀），则唯一可译。
  • 不是前缀码也可能唯一可译：{0, 01} 不是前缀码（“0”是“01”的前缀），译码时也不会歧义（每次出现1都表示一次01）。

 

5. 编码评价指标

• 平均码长 L​：，其中  为码字长度。
• 编码效率 η​：，越接近1效率越高（r​ 为码元符号数，如二进制时 r=2​）。

 

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二、香农第一定理（无失真可变长信源编码定理）

香农第一定理揭示了信源编码的极限效率，为无损压缩提供了理论基础。通过扩展信源和变长编码，使平均码长逼近 logrH(S)​​。ZIP、PNG等无损压缩算法均基于此原理。

 

1. 核心内容

研究对象：离散无记忆信源（DMS）的N次扩展信源 。
定理表述：对 ​ 进行变长编码，平均码长 满足：

其中：

• ​H(S)​：信源的熵（单位：比特/符号）。
• ​r​：码元符号数（如二进制时 r=2​）。
• ​：平均每信源符号分配的码元数。

物理意义：

• 下限：无失真压缩的极限为 ，无法突破。
• 逼近极限：通过扩展信源（增大 N​）和变长编码，可使平均码长无限接近熵限。

 

2. 关键概念与指标

1. 平均码长：

   • 衡量编码效率的核心指标，越小越好。
   • 对于定长编码，​ 固定；变长编码可通过概率匹配优化。

2. 信息传输率 R​：

   • 定义：单位码元携带的信息量（单位：比特/码元）。
   • 计算公式：
     • 基本源编码：。
     • 扩展源编码：。

3. 编码效率 η​：

   • 定义：实际信息传输率与理论最大值的比值。
   • 公式：（当 r=2​ 时，η=R​）。
   • 理想情况：η→1​（平均码长逼近熵限）。

 

3. 数据压缩的本质

• 有记忆信源：冗余源于符号间的相关性，通过预测编码、变换编码去除。
• 无记忆信源：冗余源于符号概率的非均匀分布，通过统计编码（如Huffman）逼近熵限。

压缩途径：

1. 扩展信源：增大 N​ 以减少统计波动（如对字母序列而非单个字母编码）。
2. 变长编码：高频符号用短码，低频符号用长码（如Huffman码）。

 

4. 例子与启示

示例：二元信源 S={x1​,x2​}​，概率 P(x1​)=0.9​，P(x2​)=0.1​。

• 熵： 比特/符号。
• 二进制编码下限：码元/符号。

1. 单符号编码（N=1）

• 编码方式：直接对每个符号独立编码
  • 示例：x₁→0，x₂→1

平均码长计算： L = 1×P(x₁) + 1×P(x₂) = 0.9×1 + 0.1×1 = 1 码元/符号

编码效率： η = H(S)/L = 0.469/1 = 46.9%

 

2. 扩展信源编码（N=2）

• 编码对象：符号对（共4种组合）

  • 概率分布：

    符号对	概率
    x₁x₁	0.81
    x₁x₂	0.09
    x₂x₁	0.09
    x₂x₂	0.01

Huffman编码示例： 

 x₁x₁ → 0       (码长1)x₁x₂ → 10      (码长2) x₂x₁ → 110     (码长3)x₂x₂ → 111     (码长3)

平均码长计算：L₂ = 0.81×1 + 0.09×2 + 0.09×3 + 0.01×3 = 1.29 码元/2符号
→ L = 1.29/2 ≈ 0.645 码元/符号

效率提升：η = 0.469/0.645 ≈ 72.7%
 

3. 极限情况（N→∞）

理论结果：当 N→∞ 时，L → H(S) = 0.469 码元/符号，η → 100%

5. 定理的意义

1. 理论极限：给出了无失真压缩的最低码率（熵限）。
2. 编码指导：
   • 必须采用变长编码和扩展信源才能高效逼近极限。
   • 实际编码（如Huffman）是定理的工程实现。
3. 推广性：可扩展至平稳有记忆信源（极限熵 H∞​​ 替代 H(S)​）。