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惯性系中的加速度和固连系中的加速度之间的关系可以通过参考系的转换来推导。由于固连坐标系是旋转的，因此在转换过程中需要考虑科氏加速度和离心加速度的影响。以下是详细的推导和解释：

1. 定义参考系

• 惯性坐标系（I）
• 固连坐标系（L）

2. 位置矢量和速度矢量

• 惯性系中的位置矢量 $R_c$：探测器在惯性系中的位置。
• 惯性系中的速度矢量 ( V )：探测器在惯性系中的速度，定义为 $R{{}^{\prime }}_c=C_{I\to L}{R}_c$

3. 参考系转换

在固连坐标系中，探测器的位置矢量为$R{{}^{\prime }}_c$，速度矢量为 $V_L$。由于固连坐标系是旋转的，我们需要考虑旋转带来的影响。

3.1 位置矢量的转换

位置矢量在惯性系和固连系之间的关系可以通过旋转矩阵 $C_{I\to L}$来描述：
$$R_{c^{\prime }}=C_{I\to L}{R}_c$$

3.2 速度矢量的转换

速度矢量在惯性系和固连系之间的关系需要考虑旋转的影响：
$$V_L=C_{I\to L}V-{\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c$$
这里：

• $C_{I\to L}V$：惯性系中的速度在固连系中的表示。
• ${\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c$：由于固连坐标系旋转引起的附加速度。

4. 加速度矢量的转换

加速度矢量在惯性系和固连系之间的关系可以通过对速度矢量的时间导数来推导。

4.1 惯性系中的加速度

在惯性系中，加速度 ( A ) 定义为速度 ( V ) 的时间导数：$$A=\frac{dV}{dt}$$

4.2 固连系中的加速度

在固连系中，加速度 $A_L$定义为速度 $V_L$ 的时间导数：
$$A_L=\frac{d{V}_L}{dt}$$

将 $V_L$ 的表达式代入：
$$A_L=\frac{d}{dt}\left(C_{I\to L}V-{\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c\right)$$
展开后得到：
$$A_L=C_{I\to L}\frac{dV}{dt}+\frac{d{C}_{I\to L}}{dt}V-{\omega }_{gi}\times \frac{dR{{}^{\prime }}_c}{dt}-\frac{d{\omega }_{gi}}{dt}\times R{{}^{\prime }}_c$$

由于$\frac{d{C}_{I\to L}}{dt}={\omega }_{gi}\times C_{I\to L}$，并且假设${\omega }_{gi}$是恒定的（即 $\frac{d{\omega }_{gi}}{dt}=0$，上式可以简化为：
$$A_L=C_{I\to L}A+{\omega }_{gi}\times (C_{I\to L}V)-{\omega }_{gi}\times V_L$$

进一步简化，考虑到$V_L=C_{I\to L}V-{\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c$，我们得到：
$$A_L=C_{I\to L}A-2{\omega }_{gi}\times V_L-{\omega }_{gi}\times ({\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c)$$

5. 总结

惯性系中的加速度 $A$ 和固连系中的加速度 $A_L$之间的关系为：
$$A_L=C_{I\to L}A-2{\omega }_{gi}\times V_L-{\omega }_{gi}\times ({\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c)$$
这里：

• $C_{I\to L}A$：惯性系中的加速度在固连系中的表示。
• $-2{\omega }_{gi}\times V_L$：科氏加速度。
• $-{\omega }_{gi}\times ({\omega }_{gi}\times R{{}^{\prime }}_c)$：离心加速度。

这种关系表明，在旋转的固连坐标系中，加速度不仅包括惯性系中的加速度，还包括由于参考系旋转引起的科氏加速度和离心加速度。