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wzjs 2025/7/27 9:56:22

广告网站建设最专业,微信营销系统,关于wordpress更新时无法创建目录,免费建站网站一级大陆在线看分治算法是一种通过将问题分解为多个规模较小的子问题，递归解决子问题，然后将子问题的解合并为原问题解的算法思想。它通常包含三个步骤：分解（Divide）、解决（Conquer） 和合并（Comb…

分治算法 是一种通过将问题分解为多个规模较小的子问题，递归解决子问题，然后将子问题的解合并为原问题解的算法思想。它通常包含三个步骤：分解（Divide）、解决（Conquer） 和 合并（Combine）。以下是分治算法的核心概念、适用场景、实现方法及经典例题：

一、核心概念

分解（Divide）
- 将原问题分解为若干个规模较小的子问题。
解决（Conquer）
- 递归解决子问题。如果子问题规模足够小，则直接求解。
合并（Combine）
- 将子问题的解合并为原问题的解。

二、适用场景

排序算法
- 如归并排序、快速排序。
查找算法
- 如二分查找。
数学问题
- 如大整数乘法、矩阵乘法（Strassen算法）。
数据结构操作
- 如最近点对问题、最大子数组问题。

三、实现步骤

分解问题
- 将原问题分解为若干个规模较小的子问题。
递归求解
- 对每个子问题递归调用分治算法。
合并结果
- 将子问题的解合并为原问题的解。

四、经典例题与代码

1. 归并排序

问题描述：将一个无序数组排序。

def mergeSort(arr):if len(arr) <= 1:  # 基线条件return arrmid = len(arr) // 2left = mergeSort(arr[:mid])  # 分解并递归解决左半部分right = mergeSort(arr[mid:])  # 分解并递归解决右半部分return merge(left, right)  # 合并左右部分def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result.extend(left[i:])result.extend(right[j:])return result# 示例
arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
print(mergeSort(arr))  # 输出 [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

2. 快速排序

问题描述：将一个无序数组排序。

def quickSort(arr):if len(arr) <= 1:  # 基线条件return arrpivot = arr[len(arr) // 2]  # 选择基准值left = [x for x in arr if x < pivot]  # 分解为小于基准值的子问题middle = [x for x in arr if x == pivot]  # 分解为等于基准值的子问题right = [x for x in arr if x > pivot]  # 分解为大于基准值的子问题return quickSort(left) + middle + quickSort(right)  # 递归解决并合并# 示例
arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
print(quickSort(arr))  # 输出 [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

3. 二分查找

问题描述：在有序数组中查找目标值。

def binarySearch(arr, target):if not arr:  # 基线条件return -1mid = len(arr) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:result = binarySearch(arr[mid+1:], target)return result + mid + 1 if result != -1 else -1else:return binarySearch(arr[:mid], target)# 示例
arr = [1, 3, 5, 7, 9]
print(binarySearch(arr, 5))  # 输出 2

4. 最大子数组问题

问题描述：找到一个数组中具有最大和的连续子数组。

def maxSubArray(nums):def divideAndConquer(left, right):if left == right:  # 基线条件return nums[left]mid = (left + right) // 2# 递归解决左半部分和右半部分left_max = divideAndConquer(left, mid)right_max = divideAndConquer(mid+1, right)# 计算跨越中点的最大子数组和cross_max = maxCrossingSum(left, mid, right)return max(left_max, right_max, cross_max)def maxCrossingSum(left, mid, right):left_sum = float('-inf')current_sum = 0for i in range(mid, left-1, -1):current_sum += nums[i]left_sum = max(left_sum, current_sum)right_sum = float('-inf')current_sum = 0for i in range(mid+1, right+1):current_sum += nums[i]right_sum = max(right_sum, current_sum)return left_sum + right_sumreturn divideAndConquer(0, len(nums)-1)# 示例
nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
print(maxSubArray(nums))  # 输出 6