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CG11下

多边形近似问题

• 用多边形近似平滑曲面时，颜色不连续，导致效果不佳。

• Gouraud着色

  对于多边形模型，Gouraud提出使用网格顶点周围法向量的平均值作为顶点法向量：

  $$\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{n}}_1+{\mathbf{n}}_2+{\mathbf{n}}_3+{\mathbf{n}}_4}{\left|{\mathbf{n}}_1+{\mathbf{n}}_2+{\mathbf{n}}_3+{\mathbf{n}}_4\right|}$$
  

  • 在每个顶点使用Phong光照模型计算RGB颜色。
  • 通过线性插值计算多边形内点的颜色。
  • 插值公式：
  • 对于点 $P_1$（在边 AB 上）：

  $$s=\frac{\Vert P_1-B\Vert }{\Vert A-B\Vert },\left(R_{P_1},G_{P_1},B_{P_1}\right)=s\left(R_A,G_A,B_A\right)+(1-s)\left(R_B,G_B,B_B\right)$$

  • 对于点 $P$（在P1P2之间）：

  $$s=\frac{\Vert P-P_2\Vert }{\Vert P_1-P_2\Vert },\left(R_P,G_P,B_P\right)=s\left(R_{P_1},G_{P_1},B_{P_1}\right)+(1-s)\left(R_{P_2},G_{P_2},B_{P_2}\right)$$
  

Gouraud着色与高光问题

• Gouraud着色的原理：

  • 顶点处的光照计算

    • 顶点法线：Gouraud着色在顶点处进行光照计算。每个顶点都有一个法线向量，这个法线向量用于确定该顶点处的光照反射情况。顶点法线通常是通过对其相邻面的法线进行平均来得到的，这样可以近似模拟曲面的光照效果。
    • 光照模型：在顶点处，使用光照模型（如Phong光照模型）计算光照强度。光照模型考虑了环境光、漫反射光和镜面反射光等因素，通过顶点法线和光源方向等参数来计算每个顶点的颜色值。

  • 在Gouraud着色中，光照计算是在每个顶点处进行的。每个顶点的RGB颜色值是通过光照模型计算得出的。然后，这些颜色值在多边形的面上进行插值，以确定面上每个点的颜色。

• 高光缺失的原因：

  • 当使用Gouraud着色时，如果高光应该出现在多边形面的中心（例如点P），但该面的顶点（如A、B、C）远离高光区域，那么顶点处的光照计算可能不会包含高光。这是因为顶点处的法线方向与高光反射所需的条件不匹配，导致顶点处没有高光。
  • 由于Gouraud着色通过插值顶点颜色来确定面上的颜色，如果顶点处没有高光，那么整个面上的插值结果也不会包含高光。因此，面的内部区域（如点P）将无法正确显示高光。

Phong着色（Phong Shading）是一种用于计算机图形学中光照效果的技术，它与传统的Gouraud着色不同，Phong着色插值的是法向量而非颜色。这使得Phong着色能够精确模拟每个像素的光照，特别是高光和复杂的光照效果，从而提供更细致、真实的图像。

Phong着色算法流程

1. 计算每个顶点的法向量：
   • 每个顶点都有一个法向量。通常，这些法向量是通过计算与相邻多边形的法向量的平均值来得到的。通过这种方式，可以确保法向量在整个模型表面上是平滑过渡的。
2. 边上插值：
   • 对于每个边上的点（如 $P_1$, $P_2$），根据相邻顶点（例如 $A$, $B$）的法向量，通过线性插值得到这些点的法向量。这个插值过程基于相邻顶点的法向量进行，从而确保边缘的法向量也是平滑过渡的。
3. 多边形内部插值：
   • 对于多边形内部的点（例如点 $P$），法向量由相邻边上的法向量插值得到。具体来说，如果我们有两个边（例如边 $P_{1}P$ 和边 $P_{2}P$），则点 $P$ 的法向量由这两个边上的插值法向量得到。
4. 计算光照：
   • 使用Phong光照模型计算点 $P$ 的RGB颜色。具体来说，Phong模型包括三个主要部分：漫反射光、镜面反射光和环境光。
     • 漫反射光：与表面法向量和光源方向的关系有关，遵循Lambert’s Cosine Law。
     • 镜面反射光：模拟高光，通常与观察者视角和反射光线之间的夹角有关。
     • 环境光：提供一个基本的、均匀的照明，模拟从所有方向照射的光。
   • 法向量的插值使得每个像素的光照计算更加精确，特别是在模拟表面高光和复杂的反射效果时。

发现没？gouraud插值的是光照颜色，而phone插值的是法向量值

过程总结

• 顶点法向量：首先计算每个顶点的法向量。
• 边法向量插值：在每条边的每个点上，基于顶点的法向量进行插值。
• 内部法向量插值：在多边形内部的每个点上，基于相邻边的法向量进行插值。
• 光照计算：利用插值后的法向量，使用Phong光照模型来计算每个点的颜色。

曲面细分（Subdivision Surface）是计算机图形学中的一种方法，用于将粗糙的多边形网格细化为平滑的曲面。细分算法通过递归地分割网格中的每个多边形，逐步使曲面变得光滑，最终形成一个极限曲面。

Catmull-Clark细分算法

Catmull-Clark细分算法是最著名和广泛应用的细分算法之一。它适用于四边形网格，旨在通过多次细分，将粗糙的网格转变为光滑的曲面。该算法是由Edwin Catmull和Jim Clark于1978年提出的。

Catmull-Clark细分基本概念

1. 面点（Face Points）：
   面点是一个新点，它位于一个四边形面的中心，坐标为四个角点的平均值。即对于一个四边形面（由四个顶点组成），面点坐标 $f$ 可以计算为：
   $$f=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{p}_i$$
   其中，$n$ 是四边形的角点数，$p_i$ 是这些角点的坐标。

2. 边点（Edge Points）：
   边点是位于每个边的中点，坐标是两个端点和相邻面点的平均值。对于一条边（由两个顶点组成）和它相邻的两个面，边点的计算公式为：
   $$e=\frac{p_1+p_2+f_1+f_2}{4}$$
   其中，$p_1$ 和 $p_2$ 是边的两个端点，$f_1$ 和 $f_2$ 是相邻面的面点。

3. 顶点（Vertex Points）：
   顶点的更新更复杂。它是原始顶点位置与相邻面点和边点的加权平均。公式为：
   $$p^{\prime }=\frac{n-3}{n}p+\frac{2}{n^2}\sum _j{e}_j+\frac{1}{n^2}\sum _j{f}_j$$
   其中：

   • $p$ 是原始顶点坐标。
   • $n$ 是顶点的度数（即顶点相邻的面数）。

   此外，异常点（degree ≠ 4的顶点）需要特殊处理。

Catmull-Clark细分的几何更新规则

通过递归细分，新的网格逐渐平滑。每次细分后，网格的拓扑结构会发生变化，新顶点和边的生成使得曲面更加光滑。Catmull-Clark算法对于每个细分步骤都会根据上面列出的规则更新顶点、边和面。

Catmull-Clark细分公式

• 面点公式：
  $$f=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{p}_i$$

• 顶点更新公式：
  $$p^{\prime }=\frac{n-3}{n}p+\frac{2}{n^2}\sum _j{e}_j+\frac{1}{n^2}\sum _j{f}_j$$

• 边点公式：
  $$e=\frac{p_1+p_2+f_1+f_2}{4}$$

通过这些公式，Catmull-Clark算法在每次细分中更新网格，逐渐平滑曲面。

Catmull-Clark细分与其他细分算法的对比

1. 线性细分（Linear Subdivision）：
   • 规则：简单的边中点细分，顶点坐标为简单的平均值。
   • 效果：生成的网格平滑性较差，可能会保留棱角。
   • 计算成本：低，适用于快速原型或简单场景。
   • 适用场景：不适合复杂曲面，通常用于简单的几何体。
2. Catmull-Clark细分：
   • 规则：复杂的规则，面点、边点和顶点分别进行加权平均，考虑相邻面的影响。
   • 效果：生成的曲面更加平滑，接近B样条曲面。能够处理异常点，生成高质量的光滑曲面。
   • 计算成本：较高，但质量优异，适用于复杂场景。
   • 适用场景：广泛应用于动画、建模软件（如Maya、Blender等），常用于复杂几何体的建模和细化。

Shading in OpenGL

暂时略