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LeetCode 跳跃游戏 IV：二进制字符串的跳跃问题

题目描述

给定一个下标从 0 开始的二进制字符串 s 和两个整数 minJump 和 maxJump。初始时，你位于下标 0 处（保证该位置为 '0'）。你需要判断是否能到达字符串的最后一个位置（下标为 s.length - 1）。移动规则如下：

• 从位置 i 移动到 j，需满足 i + minJump ≤ j ≤ min(i + maxJump, s.length - 1)。
• 目标位置 j 必须为 '0'。

解题思路分析

动态规划 + 前缀和优化

核心思想

1. 动态规划数组 dp：dp[i] 表示是否能到达位置 i。
2. 前缀和数组 pre：记录从 0 到当前位置的可达状态总和，用于快速计算区间和。
3. 有效区间：对于位置 j，其可跳跃的起始位置范围为 [j - maxJump, j - minJump]。通过前缀和数组快速判断该区间内是否有可达的位置。

关键步骤

1. 初始化：

   • 若最后一个字符为 '1'，直接返回 false。
   • dp[0] = true（初始位置可达）。
   • 前缀和数组 pre 记录可达位置的累计数量。

2. 遍历每个位置 j：

   • 若当前位置为 '1'，跳过。
   • 计算可跳跃的起始位置范围 [left, right]。
   • 利用前缀和数组快速查询该区间内是否有可达位置。
   • 更新 dp[j] 和前缀和数组 pre。

代码实现

方法一：标准动态规划 + 前缀

class Solution {public boolean canReach(String s, int minJump, int maxJump) {int n = s.length();if (s.charAt(n - 1) != '0') return false;boolean[] dp = new boolean[n];dp[0] = true;int[] pre = new int[n + 1]; // pre[i] 表示前i个位置的可达数pre[1] = 1;for (int j = 1; j < n; j++) {if (s.charAt(j) != '0') {pre[j + 1] = pre[j];continue;}int left = j - maxJump;int right = j - minJump;left = Math.max(left, 0);right = Math.min(right, j - 1);if (left > right) {pre[j + 1] = pre[j];continue;}int sum = pre[right + 1] - pre[left];dp[j] = sum > 0;pre[j + 1] = pre[j] + (dp[j] ? 1 : 0);}return dp[n - 1];}
}

方法二：简化前缀和处理

class Solution {public boolean canReach(String s, int minJump, int maxJump) {int n = s.length();if (s.charAt(n - 1) != '0') return false;boolean[] dp = new boolean[n];dp[0] = true;int pre = 0; // 当前窗口内的可达数for (int i = 1; i < n; i++) {if (i >= minJump) pre += dp[i - minJump] ? 1 : 0;if (i > maxJump) pre -= dp[i - maxJump - 1] ? 1 : 0;dp[i] = s.charAt(i) == '0' && pre > 0;}return dp[n - 1];}
}

代码解释

方法一关键点

1. 前缀和数组 pre：

   • pre[i] 表示前 i 个位置（即索引 0 到 i-1）的可达数。
   • 通过 pre[right+1] - pre[left] 快速计算区间 [left, right] 的可达数。

2. 有效区间计算：

   • left = j - maxJump，right = j - minJump，确保区间不越界。
   • 若区间为空（left > right），则当前位置不可达。

方法二优化

• 滚动窗口优化：
  • 直接维护当前窗口内的可达数 pre，无需额外数组。
  • 当 i 超过 minJump 时，将 dp[i - minJump] 加入窗口。
  • 当 i 超过 maxJump 时，将 dp[i - maxJump - 1] 移出窗口。

复杂度分析

• 时间复杂度：，每个位置仅遍历一次。
• 空间复杂度：，需存储 dp 数组和前缀和数组（方法一）或仅 dp 数组（方法二）。

总结与优化

1. 动态规划是核心：通过 dp 数组记录状态，避免重复计算。
2. 前缀和优化：将区间查询复杂度从  降至 ，大幅提升效率。
3. 空间优化：方法二中仅需维护一个 pre 变量，进一步减少空间消耗。

扩展思考：若题目允许跳跃到 '1' 位置，但需额外条件（如跳跃次数限制），如何调整算法？

希望这篇博客对您有所帮助！如果需要进一步优化或补充细节，可以随时告诉我～