【数据结构】红黑树

1, 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色，可以是 Red 或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出 2 倍，因而是接近平衡的。

2. 红黑树的性质

1. 每个节点不是红色就是黑色；
2. 根节点是黑色的；
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的；
4. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点；
5. 每个叶子节点都是黑色的（此处的叶子节点指的是空节点）。

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

3. 红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };

// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color)
	{}
	
	RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; 		// 节点的左孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pRight;		// 节点的右孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pParent;	// 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)
	ValueType _data; 					// 节点的值域
	Color _color; 						// 节点的颜色
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

4. 红黑树的结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头节点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头节点给成黑色，并且让头节点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft 域指向红黑树中最小的节点，pRight 域指向红黑树中最大的节点，如下：

5. 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索树的树规则插入新节点：

   template<class ValueType>
   class RBTree
   {
   	//……
   	bool Insert(const ValueType& data)
   	{
   		PNode& pRoot = GetRoot();
   		if (nullptr == pRoot)
   		{
   			pRoot = new Node(data, BLACK);
   			// 根的双亲为头节点
   			pRoot->_pParent = _pHead;
   			_pHead->_pParent = pRoot;
   		}
   		else
   		{
   			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
   			// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
   			// 若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
   		}
   		
   		// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
   		pRoot->_color = BLACK;
   		_pHead->_pLeft = LeftMost();
   		_pHead->_pRight = RightMost();
   		return true;
   	}
   private:
   	PNode& GetRoot() { return _pHead->_pParent; }
   	// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
   	PNode LeftMost();
   	// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
   	PNode RightMost();
   private:
   	PNode _pHead;
   };
   

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到破坏：

   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三：不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

   约定：cur 为当前节点，p 为父节点，g 为祖父节点，u 为叔叔节点。

   • 情况一：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 存在且为红

     

     cur 和 p 均为红，违反了性质三，此处能否将 p 直接改为黑？

     解决方式：将 p，u 改为黑，g 改为红，然后把 g 当成 cur，继续向上调整。

   • 情况二：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在 / u 存在且为黑

     

     p 为 g 的左孩子，cur 为 p 的左孩子，则进行右单旋转；相反，
     p 为 g 的右孩子，cur 为 p 的右孩子，则进行左单旋转；
     p、g 变色 – p 变黑，g 变红。

   • 情况三：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在 / u 存在且为黑

     

     p 为 g 的左孩子，cur 为 p 的右孩子，则针对 p 做左单旋转；相反，
     p 为 g 的右孩子，cur 为 p 的左孩子，则针对 p 做右单旋转；
     则转换成了情况 2。

   针对每种情况进行相应的处理即可。

   bool Insert(const ValueType& data)
   {
   	// ...
   	// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结点
   	while (pParent && RED == pParent->_color)
   	{
   		// 注意：grandFather一定存在
   		// 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲
   		PNode grandFather = pParent->_pParent;
   		// 先讨论左侧情况
   		if (pParent == grandFather->_pLeft)
   		{
   			PNode unclue = grandFather->_pRight;
   			// 情况三：叔叔节点存在，且为红
   			if (unclue && RED == unclue->_color)
   			{
   				pParent->_color = BLACK;
   				unclue->_color = BLACK;
   				grandFather->_color = RED;
   				pCur = grandFather;
   				pParent = pCur->_pParent;
   			}
   			else
   			{
   				// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑
   				if (pCur == pParent->_pRight)
   				{
   					_RotateLeft(pParent);
   					swap(pParent, pCur);
   				}
   				// 情况五最后转化成情况四
   				grandFather->_color = RED;
   				pParent->_color = BLACK;
   				_RotateRight(grandFather);
   			}
   		}
   		else
   		{
   			// 右侧请大家自己动手完成
   		}
   	}
   	// ...
   }
   

6. 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树（中序遍历是否为有序序列）；
2. 检测其是否满足红黑树的性质。

bool IsValidRBTree()
{
	PNode pRoot = GetRoot();
	// 空树也是红黑树
	if (nullptr == pRoot)
		return true;
		
	// 检测根节点是否满足情况
	if (BLACK != pRoot->_color)
	{
		cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
		return false;
	}
	
	// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
	size_t blackCount = 0;
	PNode pCur = pRoot;
	while (pCur)
	{
		if (BLACK == pCur->_color)
			blackCount++;
		pCur = pCur->_pLeft;
	}
	
	// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}

bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
	//走到null之后，判断k和black是否相等
	if (nullptr == pRoot)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	
	// 统计黑色节点的个数
	if (BLACK == pRoot->_color)
		k++;
		
	// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
	PNode pParent = pRoot->_pParent;
	if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
	{
		cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	
	return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount)
		&& _IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

7. 红黑树与 AVL 树的比较

红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的 2 倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

8. 红黑树的应用

1. C++ STL 库 – map / set、multi_map / multi_set；
2. Java 库；
3. Linux 内核；
4. 其他一些库；
5. …

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END